[论文解读] Teichmueller curves in genus three and just likely intersections in $G_m^n x G_a^n$

Matt Bainbridge, Philipp Habegger+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文通过结合 $\mathbf{G}_m^n \times \mathbf{G}_a^n$ 中的非典型相交高度界、Hodge bundle 的 Harder-Narasimhan 分次及扭序数界，证明了在三环黎曼曲面的模空间中，仅有有限多个代数本原的 Teichmüller 曲线。关键结果在 $\Omega\mathcal{M}_3$ 的所有层中（包括一般层 $\Omega\mathcal{M}_3(1,1,1,1)$）建立了有限性，采用的技巧对低复杂度与高复杂度层均有效。

ABSTRACT

We prove that the moduli space of compact genus three Riemann surfaces contains only finitely many algebraically primitive Teichmueller curves. For the stratum consisting of holomorphic one-forms in genus three with a single zero, our approach to finiteness uses the Harder-Narasimhan filtration of the Hodge bundle over a Teichmueller curve to obtain new information on the locations of the zeros of eigenforms. By passing to the boundary of moduli space, this gives explicit constraints on the cusps of Teichmueller curves in terms of cross-ratios of six points on a projective line. These constraints are akin to those that appear in Zilber and Pink's conjectures on unlikely intersections in diophantine geometry. However, in our case one is lead naturally to the intersection of a surface with a family of codimension two algebraic subgroups of $G_m^n imes G_a^n$ (rather than the more standard $G_m^n$). The ambient algebraic group lies outside the scope of Zilber's Conjecture but we are nonetheless able to prove a sufficiently strong height bound. For the generic stratum in genus three, we obtain global torsion order bounds through a computer search for subtori of a codimension-two subvariety of $G_m^9$. These torsion bounds together with new bounds for the moduli of horizontal cylinders in terms of torsion orders yields finiteness in this stratum. The intermediate strata are handled with a mix of these techniques.

研究动机与目标

• 在三环黎曼曲面的模空间 $\mathcal{M}_3$ 中，建立代数本原 Teichmüller 曲线的有限性。
• 将 $\mathbf{G}_m^n$ 中非典型相交的方法扩展至更复杂的 $\mathbf{G}_m^n \times \mathbf{G}_a^n$ 设置，该设置超出了 Zilber 猜想的范围。
• 提供 cusp 不变量与扭序数的有效界，使潜在的计算机搜索成为可能。
• 通过 Hodge 理论与共形几何的结合，解决 $\Omega\mathcal{M}_3$ 所有层（包括一般层 $\Omega\mathcal{M}_3(1,1,1,1)$）中的有限性问题。

提出的方法

• 对 Teichmüller 曲线上的 Hodge bundle 应用 Harder-Narasimhan 分次，以约束低层情形下特征形式零点的位置。
• 通过将 cusp 不变量建模为曲面与 $\mathbf{G}_m^n \times \mathbf{G}_a^n$ 中 codimension-two 代数子群的交点，推导出高度界，扩展了非典型相交技术。
• 使用计算机辅助搜索，为 $\mathbf{G}^9$ 的 codimension-two 子簇建立全局扭序数界，尤其在层 $\Omega\mathcal{M}_3(1,1,1,1)$ 中。
• 利用共形几何，以扭序数为基准，对水平圆柱模数之比进行有界，尤其在高复杂度层中。
• 通过分析周期方向中圆柱的投影宽度，利用 Northcott 定理推导出 $\Omega\mathcal{M}_3(2,2)^{\text{odd}}$ 中迹域的有限性。
• 证明在 cusp 上，某些稳定形式的代数簇若不位于双曲对称族中，则不能包含无限多个扭点，从而通过正规化与周期方程上的 l’Hôpital 法则导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathcal{M}_3$ 中，是否仅有有限多个代数本原的 Teichmüller 曲线？
• RQ2 尽管环境群超出 Zilber 猜想的范围，是否仍可在 $\mathbf{G}_m^n \times \mathbf{G}_a^n$ 中为 Teichmüller 曲线的 cusp 建立有效高度界？
• RQ3 在 $\mathbf{G}^9$ 中的全局扭序数界与圆柱模数界结合，是否足以证明一般层 $\Omega\mathcal{M}_3(1,1,1,1)$ 中的有限性？
• RQ4 Harder-Narasimhan 分次是否能为零点较少的层（如 $\Omega\mathcal{M}_3(4)$）中的特征形式零点位置提供几何约束？
• RQ5 在 $\Omega\mathcal{M}_3(2,2)^{\text{odd}}$ 中，具有固定余数三元组的稳定形式的代数簇是否为 $({\mathbf{C}}^*)^3$ 的子环？这对其 cusp 有限性有何含义？

主要发现

• 在 $\mathcal{M}_3$ 中仅有有限多个代数本原的 Teichmüller 曲线，解决了三环情形下长期悬而未决的公开问题。
• 此类曲线的 cusp 受限于 $\mathbb{P}^1$ 上六点的交比，该交比由 Harder-Narasimhan 分次与边界行为导出。
• 在 $\mathbf{G}_m^n \times \mathbf{G}_a^n$ 中，曲面与 codimension-two 子群的交点建立了有效高度界，将非典型相交理论扩展至 $\mathbf{G}_m^n$ 之外。
• 在一般层 $\Omega\mathcal{M}_3(1,1,1,1)$ 中，通过 $\mathbf{G}^9$ 中的计算机搜索计算出全局扭序数界，结合圆柱模数界，实现了有限性。
• 对于 $\Omega\mathcal{M}_3(2,2)^{\text{odd}}$，可能的余数三元组 $(r_1:r_2:r_3)$ 的集合是有限的，且具有固定余数的稳定形式代数簇不能是子环，除非其导致周期方程中的矛盾。
• 证明表明，$Q(C_0)$（残差代数簇在 $({\mathbf{C}}^*)^3$ 中的像）不能是子环，除非由此产生的 $r_i$ 与 $q_i$ 的代数条件导致矛盾，从而证明此类 cusp 的有限性。