[论文解读] Teleparallel Gravity, Covariance and Their Geometrical Meaning

Martin Krššák|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2024

Relativity and Gravitational Theory被引用 4

一句话总结

本文主张纯规范联络在定义teleparallel几何以及实现基于扭量和非度量性的引力理论协变性中至关重要。它表明teleparallel框架自然地为爱因斯坦和Møller拉格朗日量提供了协变表述，并且在Weitzenböck和共形规范下的修正teleparallel理论与基于黎曼几何的$f(\mathbf{\Omega})$和$f(\mathbf{G})$理论等价，当协变性被正确保持时，其物理自由度数量并无差异。

ABSTRACT

We explore the geometrical meaning of teleparallel geometries and the role of covariance in their definition. We argue that pure gauge connections are a necessary ingredient for describing geometry and gravity in terms of torsion and non-metricity. We show the other viable alternative is using the Einstein and Moller Lagrangians, but these are defined through the Riemannian connection coefficients and hence do not involve torsion nor non-metricity. We argue that the teleparallel geometries can be defined on the manifold without introducing any additional structures and that they naturally provide the covariant framework for the Einstein and Moller Lagrangians. We explore some consequences of this viewpoint for the modified theories of gravity as well.

研究动机与目标

• 解决关于teleparallel联络在引力理论中是否为基本量或仅为规范赝象的基础性争议。
• 阐明纯规范联络在赋予扭量与非度量性非平凡几何意义中的作用。
• 证明teleparallel几何为爱因斯坦与Møller拉格朗日量提供了自然的协变框架。
• 表明在Weitzenböck与共形规范下的修正teleparallel理论等价于基于黎曼几何的$f(\mathbf{\Omega})$与$f(\mathbf{G})$理论。
• 论证在teleparallel引力的协变表述中，物理自由度数量保持不变。

提出的方法

• 采用扩展记号以区分与一般度量-仿射、黎曼、teleparallel及对称teleparallel联络相关的几何量。
• 通过度量-仿射几何的视角分析teleparallelism的几何意义，识别出纯规范联络是赋予扭量与非度量性非平凡几何意义的根本要素。
• 比较两种观点：(1) teleparallel联络作为基本规范场，(2) 通过非完全性系数与偏导数实现的规范固定几何。
• 证明尽管爱因斯坦与Møller拉格朗日量原本通过黎曼联络系数定义，但在teleparallel几何框架下仍完全一致且等价。
• 应用Stückelberg技巧以恢复协变性，并表明协变表述中的场方程确定了一个优选基。
• 通过微扰分析比较$f(\mathbf{\Omega})$、$f(\mathbf{G})$、$f(\mathbf{\tilde{T}})$与$f(\mathbf{\tilde{Q}})$理论中的自由度，表明其传播模式等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 teleparallel几何能否独立于附加结构定义，且是否自然支持协变性？
• RQ2 为何teleparallel联络的纯规范性质在赋予扭量与非度量性几何意义中居于核心地位？
• RQ3 爱因斯坦与Møller拉格朗日量是否真正区别于teleparallel表述，抑或在协变性下等价？
• RQ4 在Weitzenböck与共形规范下的修正teleparallel理论是否在动力学上区别于其黎曼对应理论？
• RQ5 从规范固定到协变表述的teleparallel引力转换中，物理自由度数量是否保持不变？

主要发现

• 纯规范联络是赋予扭量与非度量性非平凡几何意义的必要条件，因为这些量在无此条件时并非张量。
• teleparallel几何为爱因斯坦与Møller拉格朗日量提供了自然的协变框架，而这些拉格朗日量原本是通过黎曼联络系数定义的。
• 在Weitzenböck与共形规范下的拉格朗日量$f(\mathbf{\tilde{T}})$与$f(\mathbf{\tilde{Q}})$，分别等价于黎曼几何中的$f(\mathbf{\Omega})$与$f(\mathbf{G})$理论。
• 协变表述中的场方程确定了一个优选基，一旦固定，理论即退化为其黎曼类比。
• 在$f(\mathbf{\tilde{T}})$引力中，传播自由度数量保持为五个，与标准结果一致，且在协变表述中保持不变。
• 反对称 tetrad 微扰与自连接贡献合并为单一有效自由度，从而保持了理论的物理内容。