[论文解读] Telescopers for Rational and Algebraic Functions via Residues

Shaoshi Chen, Manuel Kauers+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 17被引用 9

一句话总结

本论文提出了一种基于留数分析的新算法，用于计算有理函数与代数函数的望远镜算子，建立了 m 个变量的有理函数与 m−1 个变量的代数函数之间望远镜算子的等价性。该方法利用微分算子进行留数消去，从而在三变量有理函数情况下实现更快速的算法，并为二变量代数函数的望远镜算子阶数给出了新界。

ABSTRACT

We show that the problem of constructing telescopers for functions of m variables is equivalent to the problem of constructing telescopers for algebraic functions of m -1 variables and present a new algorithm to construct telescopers for algebraic functions of two variables. These considerations are based on analyzing the residues of the input. According to experiments, the resulting algorithm for rational functions of three variables is faster than known algorithms, at least in some examples of combinatorial interest. The algorithm for algebraic functions implies a new bound on the order of the telescopers.

研究动机与目标

• 建立 m 个变量有理函数望远镜算子计算与 m−1 个变量代数函数望远镜算子计算之间的等价性。
• 基于基于留数的消去方法，开发一种用于计算二变量代数函数望远镜算子的新算法。
• 为二变量代数函数的望远镜算子阶数推导出一个新的上界。
• 通过将问题约化为代数函数问题，提升三变量有理函数创造性望远镜计算的效率。

提出的方法

• 该方法基于在有理函数或代数函数域中分析输入函数的留数。
• 利用函数为恰当微分的充要条件是其所有留数为零这一事实，使留数消去成为构造望远镜算子的关键。
• 对于有理函数，使用 Rothstein-Trager 结式计算留数，并构造微分算子以消去这些留数。
• 对于代数函数，方法涉及将问题提升至黎曼曲面，并在函数域扩张中分析留数。
• 在留数消去后应用 Hermite 约化，以提取证书函数。
• 原型实现使用 Koutschan 的 HolonomicFunctions.m 包，与现有方法进行性能对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 m 个变量有理函数的望远镜算子计算问题能否约化为 m−1 个变量代数函数的望远镜算子计算？
• RQ2 二变量代数函数的留数结构是怎样的？如何通过微分算子实现其消去？
• RQ3 与现有创造性望远镜算法相比，基于留数的方法在三变量有理函数上的性能表现如何？
• RQ4 基于留数的方法能否为二变量代数函数的望远镜算子阶数提供更紧的上界？

主要发现

• 在某些组合意义重大的例子中，三变量有理函数的该算法性能优于已知方法，其中一例的运行时间缩短至 1.04 秒，而最慢的替代方法超过 150 小时。
• 针对二变量代数函数的新算法给出了望远镜算子阶数的新上界：deg_Dt(L) ≤ [E:K(x)]·deg_x(B*) + 2·genus(E)，其中 B* 为分母的无平方部分。
• 在示例 2 中，新方法（EA）在 1646.53 秒内计算出望远镜算子，而标准方法（CK）耗时 40043.01 秒，显示出显著的加速效果。
• 性能提升取决于 Rothstein-Trager 结式是否可分解为小因子；若可分解，则求解多个小的代数问题比求解一个大的有理问题更高效。
• 当算法第一步（留数消去）捕获了大部分望远镜算子时，该方法最为有效，从而降低了第二步中剩余耦合系统的复杂度。