[论文解读] Temperley-Lieb, Brauer and Racah algebras and other centralizers of su(2)

Nicolas Crampé, Loïc Poulain d’Andecy+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2019

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 8

一句话总结

本文提出一个猜想：任意三个 𝔰𝔲(2) 的不可约表示的张量积的中心化子同构于 Racah 代数的商代数，且给出了显式的生成元与关系。论文在多个情形下证明了该猜想，将已知代数如 Temperley–Lieb、Brauer 及单边界 Temperley–Lieb 代数作为商代数恢复出来，从而通过 Racah 代数框架统一了它们的结构。

ABSTRACT

In the spirit of the Schur-Weyl duality, we study the connections between the Racah algebra and the centralizers of tensor products of three (possibly different) irreducible representations of su(2). As a first step we show that the Racah algebra always surjects onto the centralizer. We then offer a conjecture regarding the description of the kernel of the map, which depends on the irreducible representations. If true, this conjecture would provide a presentation of the centralizer as a quotient of the Racah algebra. We prove this conjecture in several cases. In particular, while doing so, we explicitly obtain the Temperley-Lieb algebra, the Brauer algebra and the one-boundary Temperley-Lieb algebra as quotients of the Racah algebra.

研究动机与目标

• 建立 Racah 代数与 𝔰𝔲(2) 三个不可约表示张量积的中心化子之间的结构联系。
• 通过 Racah 代数的商代数，以生成元与关系的形式给出这些中心化子的表示。
• 将已知代数（如 Temperley–Lieb 与 Brauer 代数）作为该构造的特例恢复出来。
• 将中心化子的理解拓展至基础表示与自旋-1 表示之外的情形，包括混合自旋与不同表示的情况。
• 为推广至更高秩张量积、量子群及其它李代数奠定基础。

提出的方法

• 使用中间 Casimir 算符作为三个 𝔰𝔲(2) 表示张量空间中中心化子的生成元。
• 构造从 Racah 代数到中心化子的满同态，确立该情形下的第一个不变量基本定理。
• 提出一个猜想，以 j₁、j₂、j₃ 的自旋为参数，描述该同态的核。
• 在特定情形下证明该猜想：j₁ = j₂ = j₃ = 1/2（Temperley–Lieb），j₁ = j₂ = j₃ = 1（Brauer），j₁ = j，j₂ = j₃ = 1/2，j₁ = 1/2，j₂ = j₃ = 1，j₁ = j₂ = j₃ = 3/2，以及 j₁ = j，j₂ = 1/2，j₃ = k。
• 在 j₁ = j，j₂ = j₃ = 1/2 的情形下，识别出单边界 Temperley–Lieb 代数为商代数。
• 使用图解与代数技巧，验证了商化 Racah 代数与已知中心化子代数之间的同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 三个不可约 𝔰𝔲(2) 表示张量积的中心化子能否表示为 Racah 代数的商代数？
• RQ2 从 Racah 代数到中心化子的满同态的显式核是什么？其如何依赖于自旋 j₁、j₂、j₃？
• RQ3 Temperley–Lieb 与 Brauer 代数是否能在各自物理设定下自然地作为 Racah 代数的商代数被恢复？
• RQ4 对于涉及混合自旋的情形（如 j₁ = j，j₂ = j₃ = 1/2 或 j₁ = 1/2，j₂ = j₃ = 1），中心化子能否以生成元与关系显式描述？
• RQ5 该构造能否推广至更高秩张量积或量子群如 U_q(𝔰𝔲(2))？

主要发现

• Racah 代数满射到任意三个不可约 𝔰𝔲(2) 表示张量积的中心化子，确认了该情形下第一个不变量基本定理的成立。
• 当 j₁ = j₂ = j₃ = 1/2 时，Racah 代数的商同构于 Temperley–Lieb 代数，恢复了已知结果。
• 当 j₁ = j₂ = j₃ = 1 时，Racah 代数的商同构于 Brauer 代数，为此结果提供了新的代数推导。
• 在 j₁ = j，j₂ = j₃ = 1/2 的情形下，商代数给出单边界 Temperley–Lieb 代数，为该配置的中心化子提供了新表述。
• 该猜想在 j₁ = j₂ = j₃ = 3/2 的情形下得到验证，此情形此前未以生成元与关系形式描述。
• 该猜想在一般情形（j₁ = j，j₂ = 1/2，j₃ = k）下被证明，为无穷多族新的中心化子表述提供了支持。