[论文解读] Template estimation in computational anatomy: Fr\\'echet means in top and quotient spaces are not consistent

Loïc Devilliers, Stéphanie Allassonnière+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2016

AI in cancer detection参考文献 22被引用 6

一句话总结

本文表明，在商空间中的弗雷chet均值——计算解剖学中常用于模板估计——在噪声水平较高时通常不是真实模板的一致估计量。不一致性源于噪声分布折叠到商空间，导致偏差非可忽略，且随变异性增加而增大，从而使得基于经验弗雷chet均值的标准方法无法实现一致的模板恢复。

ABSTRACT

In this article, we study the consistency of the template estimation with the Fr\\'echet mean in quotient spaces. The Fr\\'echet mean in quotient spaces is often used when the observations are deformed or transformed by a group action. We show that in most cases this estimator is actually inconsistent. We exhibit a sufficient condition for this inconsistency, which amounts to the folding of the distribution of the noisy template when it is projected to the quotient space. This condition appears to be fulfilled as soon as the support of the noise is large enough. To quantify this inconsistency we provide lower and upper bounds of the bias as a function of the variability (the noise level). This shows that the consistency bias cannot be neglected when the variability increases.

研究动机与目标

• 研究在群作用下，使用商空间中的弗雷chet均值进行模板估计的一致性。
• 识别经验弗雷chet均值无法收敛到真实模板的条件。
• 量化在存在噪声且施加群作用时，模板估计中的一致性偏差。
• 提供偏差的理论界，以阐明基于商空间的估计在计算解剖学中的局限性。

提出的方法

• 对群作用下商空间中的弗雷chet均值进行理论分析，重点关注拓扑空间与商空间期望之间的关系。
• 推导不一致性的充分条件：当噪声分布折叠到商空间时，特别是当期望噪声超过到对称性轨迹的距离时。
• 使用极坐标和高斯噪声模型计算商投影的期望值，并量化偏差。
• 通过积分计算噪声导致折叠的区域，建立一致性偏差的上下界，作为噪声水平（方差）的函数。
• 在流形上应用几何与微分技术，包括对拓扑空间与商空间中方差的求导。
• 通过涉及平移和旋转群的反例证明不一致性，表明经验弗雷chet均值不会收敛到真实模板。

实验结果

研究问题

• RQ1 当观测值受群作用变形时，商空间中的弗雷chet均值是否与真实模板一致？
• RQ2 在何种条件下，商空间中的经验弗雷chet均值无法估计真实模板？
• RQ3 随着数据中噪声变异性增加，一致性偏差如何变化？
• RQ4 是否能从数学上界定通过商空间弗雷chet均值得到的模板估计偏差？
• RQ5 为何在信号偏移或形状旋转等情况下，即使样本量很大，经验弗雷chet均值仍无法恢复模板？

主要发现

• 当噪声分布折叠到商空间时，商空间中的弗雷chet均值在模板估计中不一致，特别是当噪声水平超过到对称性轨迹的距离时。
• 不一致性发生的充要条件是：随机变量落在商空间折叠区域的概率为正，即 $\mathbb{P}(X \in HP_B) > 0$。
• 一致性偏差可被定量界定：推导出其上下界作为噪声方差的函数，表明偏差随变异性增加而增大。
• 在 $\mathbb{R}^2$ 中的平移作用下，若噪声为高斯分布，则偏差与 $\int_d^{\infty} \frac{r^2 \exp(-r^2/(2s^2))}{\pi s^2} \sqrt{2} g(d/r) \, dr$ 成正比，其中 $g$ 依赖于折叠区域。
• 偏差不会随样本量增加而渐近趋于零；当噪声较大时，偏差仍显著，从而否定了经验弗雷chet均值在一致估计中的适用性。
• 不一致性不仅限于有限群；对于一般群作用（包括连续群如旋转和平移），只要模板不是不动点，该不一致性依然成立。