[论文解读] Tensor and Matrix Inversions with Applications

Michael Brazell, Na Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2011

Tensor decomposition and applications参考文献 38被引用 3

一句话总结

该论文建立了一个基于爱因斯坦积的张量求逆群论框架，证明了偶数阶张量在群同构意义下与一般线性群同构。该框架支持多重线性系统求解、张量分解（CP分解与多重线性SVD），并可通过迭代方法（如双共轭梯度法和雅可比法）在张量格式下实现数值求解，适用于高维偏微分方程和量子模型。

ABSTRACT

Higher order tensor inversion is possible for even order. We have shown that a tensor group endowed with the Einstein (contracted) product is isomorphic to the general linear group of degree $n$. With the isomorphic group structures, we derived new tensor decompositions which we have shown to be related to the well-known canonical polyadic decomposition and multilinear SVD. Moreover, within this group structure framework, multilinear systems are derived, specifically, for solving high dimensional PDEs and large discrete quantum models. We also address multilinear systems which do not fit the framework in the least-squares sense, that is, when the tensor has an odd number of modes or when the tensor has distinct dimensions in each modes. With the notion of tensor inversion, multilinear systems are solvable. Numerically we solve multilinear systems using iterative techniques, namely biconjugate gradient and Jacobi methods in tensor format.

研究动机与目标

• 建立基于群论与爱因斯坦积的张量求逆的严格数学框架。
• 实现高维多重线性系统（源于偏微分方程与量子力学）的求解。
• 在对称性约束下，将张量分解（CP分解与多重线性SVD）作为群同构的特例推导。
• 将基于矩阵的数值方法（如双共轭梯度法、雅可比法）扩展至张量格式，用于多重线性系统的迭代求解。
• 通过张量群框架中的最小二乘法，处理非方阵及奇数阶张量问题。

提出的方法

• 在爱因斯坦积下定义张量群 $(\mathbb{T}, \ast_2)$，并证明其与一般线性群 $\mathrm{GL}(n)$ 通过双射映射 $f$ 同构。
• 利用同构 $f: \mathbb{T} \to \mathbb{M}$，将矩阵群的性质（结合律、单位元、可逆性）转移至张量。
• 定义张量求逆为 $\widetilde{\mathcal{A}} = f^{-1}\left( [f(\mathcal{A})]^{-1} \right)$，确保 $\widetilde{\mathcal{A}} \ast_2 \mathcal{A} = \mathcal{A} \ast_2 \widetilde{\mathcal{A}} = \mathscr{E}$，其中 $\mathscr{E}$ 为单位张量，其元素为 $\delta_{i_1 j_1} \delta_{i_2 j_2}$。
• 将张量分解（CP分解与多重线性SVD）作为群同构在对称性约束下的特例推导，建立其与已知张量分解的联系。
• 在张量格式下实现迭代求解器（双共轭梯度法、雅可比法），用于求解多重线性系统，尤其适用于高维偏微分方程与量子模型。
• 通过张量群框架中的最小二乘法，处理非可逆情形（奇数阶或模式维数不一致的张量）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下张量求逆是可能的？如何通过群论代数定义张量求逆？
• RQ2 CP分解与多重线性SVD等张量分解如何作为同构群结构的特例推导？
• RQ3 能否将迭代数值方法适配至张量格式，以求解高维偏微分方程与量子模型中的多重线性系统？
• RQ4 张量群与同构框架如何处理奇数阶模式或不同模式维数的张量？
• RQ5 爱因斯坦积在何种意义上使多重线性系统与张量求逆成为矩阵代数的类比？

主要发现

• 在爱因斯坦积下，偶数阶张量构成的集合形成一个与一般线性群 $\mathrm{GL}(n)$ 同构的群，从而实现张量求逆的严格定义。
• 张量群的单位元为张量 $\mathscr{E}$，其元素为 $\delta_{i_1 j_1} \delta_{i_2 j_2}$，在爱因斯坦积下起到单位作用。
• 张量求逆通过同构 $f$ 下对应矩阵的逆定义，确保 $\widetilde{\mathcal{A}} \ast_2 \mathcal{A} = \mathcal{A} \ast_2 \widetilde{\mathcal{A}} = \mathscr{E}$。
• 在因子上施加对称性后，CP分解与多重线性SVD作为群同构的特例自然出现，与已知张量分解建立联系。
• 双共轭梯度法与雅可比法等迭代求解器成功适配至张量格式，用于求解高维偏微分方程与量子模型中的多重线性系统。
• 该框架通过最小二乘法扩展至非可逆情形（奇数阶或模式维数不一致的张量），实现对超定或欠定多重线性系统的数值求解。