[论文解读] Tensor Decomposition, Parafermions, Level-Rank Duality, and Reciprocity Law for Vertex Operator Algebras

Cuipo, Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用 16

一句话总结

本文通过证明 $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0) $ 在 $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)^{\otimes l} $ 中的交换子同构于 parafermion 顶点算子代数 $ K(\mathfrak{sl}_l, n) $，建立了顶点算子代数的层-秩对偶性，并将其推广至不同层的模的张量积，揭示了类似于李型代数群中 Howe 对偶性的对偶结构。

ABSTRACT

For the semisimple Lie algebra $ \frak{sl}_n$, the basic representation $L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(1,0)$ of the affine Lie algebra $\widehat{\frak{sl}_{n}}$ is a lattice vertex operator algebra. The first main result of the paper is to prove that the commutant vertex operator algebra of $ L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(l,0)$ in the $l$-fold tensor product $ L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(1,0)^{\otimes l}$ is isomorphic to the parafermion vertex operator algebra $K(\frak{sl}_{l},n)$, which is the commutant of the Heisenberg vertex operator algebra $L_{\widehat{\frak{h}}}(n,0) $ in $L_{\widehat{\frak{sl}_l}}(n,0)$. The result provides a version of level-rank duality. The second main result of the paper is to prove more general version of the first result that the commutant of $ L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(l_1+\cdots +l_s, 0)$ in $L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(l_1,0)\otimes \cdots \otimes L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(l_s, 0)$ is isomorphic to the commutant of the vertex operator algebra generated by a Levi Lie subalgebra of $\frak{sl}_{l_1+\cdots+l_s}$ corresponding to the composition $(l_1, \cdots, l_s)$ in the rational vertex operator algebra $ L_{\widehat{\frak{sl}}_{l_1+\cdots +l_s}}(n,0)$. This general version also resembles a version of reciprocity law discussed by Howe in the context of reductive Lie groups. In the course of the proof of the main results, certain Howe duality pairs also appear in the context of vertex operator algebras.

研究动机与目标

• 通过交换子构造建立顶点算子代数的层-秩对偶性。
• 将该对偶性推广至具有不同层的模的张量积。
• 将 parafermion VOA 的结构与仿射 VOA 中的商构造联系起来。
• 制定类似于李型代数群中 Howe 对偶性的 VOA 互惠律。
• 证明特定情况下 parafermion VOA 的有理性和 $ C_2 $-余有限性。

提出的方法

• 使用交换子顶点算子代数，将 $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0) $ 在 $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)^{\otimes l} $ 中的关系与 $ K(\mathfrak{sl}_l, n) $ 关联。
• 在 VOA 框架下应用 Howe 对偶对，推导交换子之间的同构。
• 通过模类别的等价性，构造不同 VOA 中交换子之间的同构。
• 使用格 VOA $ V_{\sqrt{n}A_{l-1}} $ 作为 parafermion VOA 的对偶伙伴。
• 通过层组合 $ (l_1, \dots, l_s) $ 将对偶性推广至 $ s $ 重张量积。
• 通过双 VOA 对中模的 Hom-空间同构推导互惠律。

实验结果

研究问题

• RQ1 $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0) $ 在 $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)^{\otimes l} $ 中的交换子是否同构于 parafermion VOA $ K(\mathfrak{sl}_l, n) $？
• RQ2 层-秩对偶性能否推广至具有不同层的模的张量积？
• RQ3 在 VOA 框架下，是否存在类似于李型代数群中 Howe 对偶性的互惠律？
• RQ4 parafermion VOA $ K(\mathfrak{sl}_n, 2) $ 的有理性和表示论为何？
• RQ5 coset 构造 $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)^{\otimes l}}(L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0)) $ 是否为 $ C_2 $-余有限且有理的？

主要发现

• $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0) $ 在 $ L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)^{\otimes l} $ 中的交换子同构于 $ K(\mathfrak{sl}_l, n) $，确立了层-秩对偶性。
• $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{sl}_l}}(n,0)}(L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(n,0)) $ 同构于 $ V_{\sqrt{n}A_{l-1}} $，即一个格 VOA。
• 对于 $ n \geq 2 $，$ K(\mathfrak{sl}_n, 2) $ 是有理的，且具有 $ 2^{n-2}(n+1) $ 个不可约表示。
• $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)^{\otimes 2}}(L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(2,0)) $ 是 $ C_2 $-余有限的，且具有 $ n(n+1)/2 $ 个不可约模。
• 当 $ n \leq 6 $ 时，该商是有理的，其 Zhu 代数是维数为 $ n(n+1)/2 $ 的半单且交换的代数。
• 通过双 VOA 对中模的 Hom-空间同构，建立了通用的互惠律。