[论文解读] Tensor decompositions and tensor equations over quaternion algebra

Zhuo‐Heng He, Carmeliza Navasca+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 48被引用 9

一句话总结

本文首次建立了基于爱因斯坦积的四元数代数上张量分解与方程的综合框架。引入了四元数张量SVD、秩分解和η-厄米特分解，通过SVD推导出Moore-Penrose逆，并为广义Sylvester四元数张量方程的可解性及通解提供了必要且充分条件，应用包括η-厄米特解。

ABSTRACT

In this paper, we investigate and discuss in detail the structures of quaternion tensor SVD, quaternion tensor rank decomposition, and $η$-Hermitian quaternion tensor decomposition with the isomorphic group structures and Einstein product. Then we give the expression of the Moore-Penrose inverse of a quaternion tensor by using the quaternion tensor SVD. Moreover, we consider a generalized Sylvester quaternion tensor equation. We give some necessary and sufficient conditions for the existence of a solution to the generalized Sylvester quaternion tensor equation in terms of the Moore-Penrose inverses of the quaternion tensors. We also present the expression of the general solution to this tensor equation when it is solvable. As applications of this generalized Sylvester quaternion tensor equation, we derive some necessary and sufficient conditions for the existences of $η$-Hermitian solutions to some quaternion tensor equations. We also provide some numerical examples to illustrate our results.

研究动机与目标

• 基于同构群结构与爱因斯坦积，发展四元数代数上张量分解（SVD、秩、η-厄米特）的系统理论。
• 通过四元数张量SVD定义并表达偶数阶四元数张量的Moore-Penrose逆。
• 建立广义Sylvester四元数张量方程存在性与通解的必要且充分条件。
• 利用广义Sylvester方程框架，推导特定类四元数张量方程的可解条件与通η-厄米特解。

提出的方法

• 利用爱因斯坦积在四元数代数上定义张量运算，实现结构化分解与求逆。
• 引入四元数张量SVD作为基础工具，推导偶数阶四元数张量的Moore-Penrose逆。
• 应用系数张量的Moore-Penrose逆，推导广义Sylvester方程的存在条件与通解公式。
• 利用同构群结构分析并表征四元数张量分解的代数性质。
• 通过对称平均投影将任意解投影到η-厄米特子空间，推导通η-厄米特解。
• 使用正交投影算子与广义逆（如$oldsymbol{ abla}$, $oldsymbol{ abla}^ ext{†}$）分解解空间并施加结构约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何基于爱因斯坦积在四元数代数上系统地定义并表征张量分解（如SVD、秩分解、η-厄米特分解）？
• RQ2 四元数张量的Moore-Penrose逆的表达式是什么？它如何通过其张量SVD推导得出？
• RQ3 广义Sylvester四元数张量方程$oldsymbol{ abla}*_N oldsymbol{X}*_M oldsymbol{B} + oldsymbol{C}*_N oldsymbol{Y}*_M oldsymbol{D} = oldsymbol{E}$在何种条件下有解？
• RQ4 当方程可解时，其通解的一般形式是什么？
• RQ5 特定四元数张量方程存在η-厄米特解的必要且充分条件是什么？如何对其进行参数化？

主要发现

• 偶数阶四元数张量的Moore-Penrose逆通过其张量SVD表达为$oldsymbol{A}^{oldsymbol{ abla}} = oldsymbol{U}^{oldsymbol{ abla}} *_N oldsymbol{ abla}^{oldsymbol{ abla}} *_N oldsymbol{V}^{oldsymbol{ abla}}$，其中$oldsymbol{U}, oldsymbol{V}$为酉矩阵，$oldsymbol{ abla}$为核心张量。
• 广义Sylvester方程$oldsymbol{A}*_N oldsymbol{X}*_M oldsymbol{B} + oldsymbol{C}*_N oldsymbol{Y}*_M oldsymbol{D} = oldsymbol{E}$可解当且仅当$(oldsymbol{R}_{oldsymbol{A}})*_N oldsymbol{E}*_N oldsymbol{R}_{oldsymbol{C}} = 0$且$(oldsymbol{R}_{oldsymbol{C}})*_N oldsymbol{E}*_N oldsymbol{R}_{oldsymbol{A}} = 0$。
• 当可解时，广义Sylvester方程的通解由包含Moore-Penrose逆与任意同维张量$oldsymbol{U}_1, oldsymbol{U}_2, oldsymbol{U}_3, oldsymbol{U}_4, oldsymbol{U}_5$的闭式表达式给出。
• 方程$oldsymbol{A}*_N oldsymbol{X}*_N oldsymbol{A}^{oldsymbol{ abla}oldsymbol{ abla}*} = oldsymbol{E}$且$oldsymbol{X} = oldsymbol{X}^{oldsymbol{ abla}*}$存在η-厄米特解当且仅当$(oldsymbol{R}_{oldsymbol{A}})*_N oldsymbol{E} = 0$。
• 方程$oldsymbol{A}*_N oldsymbol{X}*_N oldsymbol{A}^{oldsymbol{ abla}oldsymbol{ abla}*} = oldsymbol{E}$的通η-厄米特解为$oldsymbol{X} = oldsymbol{A}^{oldsymbol{ abla}}*_N oldsymbol{E}*_N (oldsymbol{A}^{oldsymbol{ abla}})^{oldsymbol{ abla}*} + (oldsymbol{L}_{oldsymbol{A}})*_N oldsymbol{U} + oldsymbol{U}^{oldsymbol{ abla}*}*_N (oldsymbol{L}_{oldsymbol{A}})^{oldsymbol{ abla}*}$，其中$oldsymbol{U}$为任意张量。
• 该解框架可通过将各类张量方程约化为广义Sylvester形式，实现其可解条件与通η-厄米特解的推导。