[论文解读] Tensor fields and connections on holomorphic orbit spaces of finite groups

Andreas Kriegl, Mark Losik+1 more|ArXiv.org|Mar 8, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文建立了在复轨道丛 $V/G$（其中 $G$ 是作用在复向量空间 $V$ 上的有限群）的正则层上，全纯张量场与联络可提升至 $V$ 上 $G$-不变全纯张量场与联络的条件。关键结果是：此类提升存在当且仅当张量场或联络在反射除子 $D_{V/G}$ 上具有非负阶数，且该特征完全通过全纯函数层、正则层与反射除子确定复轨道丛。

ABSTRACT

For a representation of a finite group $G$ on a complex vector space $V$ we determine when a holomorphic $\binom{p}{q}$-tensor field on the principle stratum of the orbit space $V/G$ can be lifted to a holomorphic $G$-invariant tensor field on $V$. This extends also to connections. As a consequence we determine those holomorphic diffeomorphisms on $V/G$ which can be lifted to orbit preserving holomorphic diffeomorphisms on $V$. This in turn is applied to characterize complex orbifolds.

研究动机与目标

• 确定复轨道丛 $V/G$ 的正则层上全 holomorphic 张量场与联络何时可提升至 $V$ 上的 $G$-不变全纯张量场。
• 刻画可提升至 $V$ 上等变全纯微分同胚的 $V/G$ 上的全纯微分同胚。
• 证明复轨道丛由全纯函数层 $\mathfrak{F}_X$、正则层 $X_0$ 与反射除子 $D_X$ 唯一确定。

提出的方法

• 分析 $V/G$ 的轨道型分层，并将并集 $Z_1 = Z_0 \cup \bigcup_{\text{codim }1} Z_{(K)}$ 识别为复流形。
• 利用反射除子 $D_{V/G}$ 编码余维数为 1 的层上稳定子群的阶数，特别是追踪复反射。
• 通过在 $Z_1$ 上具有沿 $D_{V/G}$ 受控极点的亚纯张量场与联络，刻画 $V$ 上的 $G$-不变全纯张量场与联络。
• 应用联络的提升定理，证明全纯微分同胚 $f: V/G \to V'/G'$ 可等变提升当且仅当 $f(Z_0) \subset Z'_0$ 且 $f_*(D_{V/G}) \subset D_{V'/G'}$。
• 利用 $V$ 上的 $\mathbb{C}^*$-作用，从轨道丛数据（包括 $\mathfrak{F}_{V/G}$、$Z_0$ 与 $D_{V/G}$）恢复 $G$-模结构。
• 应用提升结果，证明复轨道丛可唯一重构自 $\mathfrak{F}_X$、$X_0$ 与 $D_X$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$V/G$ 的正则层上的全纯 $\binom{p}{q}$-张量场可提升至 $V$ 上的 $G$-不变全纯张量场？
• RQ2 何时两个轨道空间 $V/G$ 与 $V'/G'$ 之间的全纯微分同胚可提升为 $V$ 与 $V'$ 之间的等变全纯微分同胚？
• RQ3 除了全纯函数层 $\mathfrak{F}_X$ 与正则层 $X_0$ 外，还需何种额外数据才能唯一重构复轨道丛 $X$？
• RQ4 轨道丛上的联络如何与在正则层上具有沿反射除子受控奇点的亚纯联络相关联？
• RQ5 能否从轨道丛数据 $\mathfrak{F}_{V/G}$、$Z_0$ 与 $D_{V/G}$ 重构 $V$ 上的 $G$-模结构，特别是当 $\mathbb{C}^*$ 作用由位似变换诱导时？

主要发现

• 正则层 $Z_0$ 上的全纯 $\binom{p}{q}$-张量场可提升至 $V$ 上的 $G$-不变全纯张量场，当且仅当其在 $Z_1$ 上对应的亚纯张量场沿反射除子 $D_{V/G}$ 具有非负阶数。
• 全纯微分同胚 $f: V/G \to V'/G'$ 可提升为 $G$-等变全纯微分同胚 $F: V \to V'$，当且仅当 $f(Z_0) \subset Z'_0$ 且 $f_*(D_{V/G}) \subset D_{V'/G'}$。
• 复轨道丛 $X = M/G$ 由全纯函数层 $\mathfrak{F}_X$、正则层 $X_0$ 与反射除子 $D_X$ 唯一确定，即这三项数据足以在同构意义下重构 $X$。
• $G$-模 $V$ 可由数据 $\mathfrak{F}_{V/G}$、正则层 $Z_0$、反射除子 $D_{V/G}$ 与由位似变换诱导的 $V/G$ 上的 $\mathbb{C}^*$-作用唯一确定（至线性同构）。
• 复轨道丛上的联络被刻画为在 $X_1 = X_0 \cup \bigcup_{\text{codim }1} X_{(K)}$ 上的亚纯联络，且沿 $D_X$ 具有非负阶数，推广了索尔姆森定理。
• 若 $M$ 单连通，则复轨道丛 $X = M/G$ 的万有覆叠轨道丛由 $\mathfrak{F}_X$、$X_0$ 与 $D_X$ 唯一确定，且任何保持这些数据的全纯微分同胚均可等变提升至 $M$。