[论文解读] Tensor hierarchies and Lie $n$-extensions of Leibniz algebras

Sylvain Lavau|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2017

Advanced Topics in Algebra被引用 3

一句话总结

本文從Loday（Leibniz）代數出發，建立張量層次的規範構造，形式化了超引力規範程序背後的代數結構。結果顯示，這種張量層次自然地攜帶微分分次李代數結構，與超引力理論中發現的結構一致，從而統一了代數與物理的構造。

ABSTRACT

Tensor hierarchies are algebraic objects that emerge in gauging procedures in supergravity models, and that present a very deep and intricate relationship with Leibniz (or Loday) algebras. In this paper, we show that one can canonically associate a tensor hierarchy to any Loday algebra. By formalizing the construction that is performed in supergravity, we build this tensor hierarchy explicitly. We show that this tensor hierarchy can be canonically equipped with a differential graded Lie algebra structure that coincides with the one that is found in supergravity theories.

研究动机与目标

• 為了形式化超引力規範程序中出現的張量層次的代數構造。
• 為了建立Loday代數與張量層次之間的規範對應關係。
• 為了證明所得到的張量層次可自然地攜帶微分分次李代數結構。
• 為了證明該結構與物理超引力理論中實現的結構完全一致。

提出的方法

• 本文首先識別Loday代數作為張量層次基礎結構的代數框架。
• 透過系統性、遞歸的擴展過程，從Loday代數出發構造張量層次為分次向量空間。
• 利用Leibniz括號及其高階類比定義張量層次上的微分，確保與Loday代數關係相容。
• 透過定義滿足分次雅可比恆等式的分次括號，進而強制施加微分分次李代數結構。
• 證明該構造是函子性的，確保在Loday代數的同態下保持一致性。
• 最後一步驗證所得到的結構與已知的超引力模型中的微分分次李代數完全匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何從Loday代數系統地構造張量層次？
• RQ2 在Loday代數的背景下，張量層次背後的代數結構是什麼？
• RQ3 從Loday代數導出的張量層次是否自然攜帶微分分次李代數結構？
• RQ4 該微分分次李代數是否同構於超引力理論中發現的結構？
• RQ5 該構造能否在不同Loday代數之間實現規範化與函子性？

主要发现

• 從任意Loday代數出發，可構造出規範的張量層次，推廣了超引力中物理規範程序。
• 張量層次攜帶由Loday代數唯一確定的微分分次李代數結構。
• 張量層次上的微分分次李代數結構與超引力模型中實現的結構完全一致。
• 該構造是函子性的，保持Loday代數及其相關張量層次之間的同態關係。
• 該結果在抽象的Loday代數結構與超引力中物理的張量層次之間建立了深刻的代數統一。