[论文解读] Tensor Krylov subspace methods via the T-product for color image processing

M. El Guide, Alaa El Ichi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2020

Tensor decomposition and applications参考文献 4被引用 9

一句话总结

本文提出基于T-积的张量Krylov子空间方法，以高效求解彩色图像与视频恢复中出现的大规模线性张量方程。通过结合快速傅里叶变换（FFT）与全局Arnoldi/Golub-Kahan双对角化方法，该方法实现了对病态多通道图像与视频去模糊问题的高质量、计算高效的Tikhonov正则化解法。

ABSTRACT

The present paper is concerned with developing tensor iterative Krylov subspace methods to solve large multi-linear tensor equations. We use the well-known T-product for two tensors to define tensor global Arnoldi and tensor global Gloub-Kahan bidiagonalization algorithms. Furthermore, we illustrate how tensor-based global approaches can be exploited to solve ill-posed problems arising from recovering blurry multichannel (color) images and videos, using the so-called Tikhonov regularization technique, to provide computable approximate regularized solutions. We also review a generalized cross-validation and discrepancy principle type of criterion for the selection of the regularization parameter in the Tikhonov regularization. Applications to RGB image and video processing are given to demonstrate the efficiency of the algorithms.

研究动机与目标

• 开发用于多通道图像与视频处理中出现的大规模线性张量方程的高效迭代求解器。
• 将经典Krylov子空间方法（GMRES与Golub-Kahan）扩展至基于T-积形式的张量框架。
• 通过Tikhonov正则化实现对彩色图像与视频去模糊中病态问题的快速且鲁棒的正则化。
• 通过在T-积计算中使用快速傅里叶变换（FFT）降低计算成本。
• 通过GCV与不一致原理实现自适应参数选择，提供计算成本低廉且高质量的正则化解。

提出的方法

• 将张量线性系统形式化为 $\mathcal{M}(\mathscr{X}) = \mathscr{C}$，其中 $\mathcal{M}(\mathscr{X}) = \mathscr{A} \ast \mathscr{X}$ 或 $\mathscr{A} \ast \mathscr{X} \ast \mathscr{B}$，采用T-积 $\ast$。
• 提出适用于三阶张量的T-积框架下的张量全局Arnoldi与张量全局Golub-Kahan双对角化算法。
• 利用快速傅里叶变换（FFT）高效计算张量间的T-积，降低计算复杂度。
• 对张量系统应用Tikhonov正则化，以稳定图像与视频恢复中病态问题的解。
• 在张量全局GMRES与T-GGKB方法中，采用高斯型求积规则与重启策略，以低成本计算正则化解。
• 采用广义交叉验证（GCV）与不一致原理，实现Tikhonov正则化参数的自动选择。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于T-积的张量Krylov子空间方法能否有效求解彩色图像与视频处理中的大规模线性张量方程？
• RQ2 与标准矩阵或张量迭代方法相比，基于T-积的公式在计算效率上如何提升？
• RQ3 基于T-积的全局Krylov方法在恢复模糊且含噪的RGB图像与视频方面，性能如何优于现有方法？
• RQ4 GCV与不一致原理在选择张量Tikhonov正则化最优正则化参数方面有多有效？
• RQ5 所提出的方法能否通过在张量框架中同时处理多帧图像，高效扩展至视频恢复？

主要发现

• 所提出的张量全局GMRES与T-GGKB方法在显著降低CPU时间的同时，实现了更高品质的图像恢复效果，优于标准全局Krylov方法。
• 对于噪声水平为 $10^{-3}$ 的 $\tt papav256$ 图像，算法4在6.62秒内达到SNR为21.01，相对误差为 $6.64 \times 10^{-2}$，优于标准GKB方法（18.61秒）。
• 对于噪声水平为 $10^{-3}$ 的 $\tt peppers$ 图像，算法4在24.32秒内达到SNR为19.39，相对误差为 $5.50 \times 10^{-2}$，再次优于GKB方法（78.13秒）。
• 在视频恢复中，算法4在噪声水平 $10^{-3}$ 下，SNR为19.97，相对误差为 $4.07 \times 10^{-2}$，耗时35.68秒；而算法5实现了相近的SNR，但CPU时间更低（25.52秒）。
• 采用GCV与不一致原理实现了正则化参数的自动且有效的选择，从而获得稳定且高质量的恢复结果。
• 该方法在视频数据上表现出良好的可扩展性与效率，10帧图像的恢复耗时低于40秒（低噪声水平下），展现出相对于标准方法的显著计算优势。