[论文解读] Tensor models from the viewpoint of matrix models: the case of loop models on random surfaces

Valentin Bonzom, F. Combes|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2013

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 33被引用 41

一句话总结

本文通过证明 $U(\tau)$ 矩阵模型在随机表面上生成完全填充的、有向的环，从而在数学上建立了张量模型与矩阵模型之间的直接联系，这些环与张量模型中的边着色图一一对应。关键结果是：张量模型中的度数对应于环的数量，而极大化环数的胶状图（melonic graphs）在大-$N$ 极限下自然出现，统一了两种框架下的 $1/N$ 展开与双标度极限。

ABSTRACT

We study a connection between random tensors and random matrices through $U(τ)$ matrix models which generate fully packed, oriented loops on random surfaces. The latter are found to be in bijection with a set of regular edge-colored graphs typically found in tensor models. It is shown that the expansion in the number of loops is organized like the 1/N expansion of rank-three tensor models. Recent results on tensor models are reviewed and applied in this context. For example, configurations which maximize the number of loops are precisely the melonic graphs of tensor models and a scaling limit which projects onto the melonic sector is found. We also reinterpret the double scaling limit of tensor models from the point of view of loops on random surfaces. This approach is eventually generalized to higher-rank tensor models, which generate loops with fugacity $τ$ on triangulations in dimension $d-1$.

研究动机与目标

• 通过随机表面上的环模型，建立张量模型与矩阵模型之间精确的数学与组合学桥梁。
• 将张量模型的 $1/N$ 展开重新解释为矩阵模型中环数的计数。
• 证明张量模型中的胶状图对应于 $U(\tau)$ 矩阵模型中环数最多的配置。
• 将 $1/N$ 展开推广至具有非均匀缩放的高阶张量模型。
• 从随机表面上环构型的视角，重新诠释张量模型的双标度极限。

提出的方法

• 构造一族 $U(\tau)$ 矩阵模型，其中矩阵 $M_1, \dots, M_\tau$ 被组合成一个大小为 $N \times N \times \tau$ 的三阶张量。
• 使用中间场方法将四次张量模型转化为多矩阵模型，从而可应用矩阵模型的技术。
• 在 $U(\tau)$ 模型的费曼图与张量模型中的边着色图之间建立双射，使环数与图的度数完全匹配。
• 将四色图的度数定义为由颜色 (0,1,2) 和 (0,3,4) 构成的子图的亏格之和，该值即为环的数量。
• 为高阶张量模型引入依赖于 $\beta$ 的缩放方式，实现从矩阵模型 ($\beta=0$) 到标准张量模型 ($\beta=1$) 的插值。
• 推导费曼展开中 $N$ 的指数为子图亏格的加权和，证明当 $\beta > 0$ 时胶状图占主导地位。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 $U(\tau)$ 矩阵模型生成与张量模型费曼图一一对应的随机表面上的环构型？
• RQ2 当从矩阵模型中环数计数的视角审视时，张量模型中度数的组合学解释是什么？
• RQ3 在 $U(\tau)$ 矩阵模型的大-$N$ 极限下，如何重现张量模型中胶状图占主导的现象？
• RQ4 张量模型的双标度极限能否被重新解释为随机表面上环构型的标度极限？
• RQ5 张量指标的非均匀缩放（$\beta \in [0,1]$）如何影响 $1/N$ 展开以及矩阵模型表述下的主导图？

主要发现

• 在 $U(\tau)$ 矩阵模型中，环的数量精确等于对应张量模型中四色图的度数，为度数提供了新的组合学解释。
• 张量模型中的胶状图正是使 $U(\tau)$ 矩阵模型中环数达到最大化的配置，解释了其在大-$N$ 极限下的主导性。
• 当 $\beta > 0$ 时，广义 $\beta$-缩放模型中的主导图是子图 (0,1,2) 和 (0,3,4) 的亏格均为零的图，对应于胶状图占主导。
• $U(\tau)$ 模型中的 $1/N$ 展开与三阶张量模型中的 $1/N$ 展开组织方式完全一致，均由度数控制缩放行为。
• 张量模型的双标度极限被重新解释为环数发散而子图亏格被调节的极限，与环模型行为一致。
• $\beta$-依赖缩放在标准矩阵模型 ($\beta=0$) 与标准张量模型 ($\beta=1$) 之间插值，自由能中 $N$ 的指数表达为两个子图亏格贡献的凸组合。