[论文解读] Tensor Network Methods for Extracting CFT Data from Fixed-Point Tensors and Defect Coarse Graining

Wenhan Guo, Tzu-Chieh Wei|arXiv (Cornell University)|May 17, 2023

Theoretical and Computational Physics被引用 4

一句话总结

本文提出一种张量网络方法，利用线性化张量重整化群（lTRG）和图无关局部截断（GILT），从二维经典伊辛模型的固定点张量中提取共形场论（CFT）数据——如标度维数和结构常数。结果表明，在晶格中插入缺陷可生成与lTRG本征向量匹配的共形态，且在受控条件下，HOTRG+GILT能实现精确的两体和四体关联函数，通过最小规范形式进一步提升了稳定性。

ABSTRACT

We present a comprehensive study on the extraction of CFT data using tensor network methods, specially, from the fixed-point tensor of the linearized tensor renormalization group (lTRG) for the 2D classical Ising model near the critical temperature. Utilizing two different methods, we extract operator scaling dimensions and operator-product-expansion (OPE) coefficients by introducing defects on the lattice and by employing the fixed-point tensor. We also explore the effects of point-like defects in the lattice on the coarse-graining process. We find that there is a correspondence between coarse-grained defect tensors and conformal states obtained from lTRG fixed-point equation. We also analyze the capabilities and limitations of our proposed coarse-graining scheme for tensor networks with point-like defects, which includes graph independent local truncation (GILT) and higher-order tensor renormalization group (HOTRG). Our results provide a better understanding of the capacity and limitations of the tenor renormalization group scheme in coarse-graining defect tensors, and we show that GILT+HOTRG can be used to give accurate two- and four-point functions under specific conditions. We also find that employing the minimal canonical form further improves the stability of the RG flow.

研究动机与目标

• 开发一种从临界格点模型的固定点张量中提取CFT数据（包括标度维数和结构常数）的方法。
• 研究晶格中点缺陷对张量网络粗粒化的影响，以及其是否可用于构建共形态。
• 评估HOTRG和GILT在缺陷存在下保持关联函数和RG流稳定性的性能与局限性。
• 建立粗粒化缺陷张量与由lTRG固定点方程导出的共形态之间的对应关系。
• 探索从CFT数据反向构建固定点张量的可行性，作为反向共形 bootstrap 方法。

提出的方法

• 本研究使用线性化张量重整化群（lTRG）从二维伊辛模型固定点张量中提取标度维数和结构常数。
• 通过修改局部张量在晶格中引入缺陷，以模拟共形算符的插入，从而构建共形态。
• 应用图无关局部截断（GILT）以去除虚假相关性（CDL张量），并在粗粒化过程中稳定RG流。
• 使用高阶张量重整化群（HOTRG）实现晶格的高效粗粒化，每一步均应用截断与滤波。
• 将lTRG固定点方程的本征向量与粗粒化缺陷张量进行比较，以验证其与共形态的对应关系。
• 采用最小规范形式以提高RG流的稳定性并减少数值伪影。

Figure 1 : (color online) Illustration of the renormalization group flow (top) and the changes in tensors during the RG process.

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用lTRG和GILT从二维伊辛模型的固定点张量中高精度提取标度维数和结构常数？
• RQ2 粗粒化缺陷张量与由lTRG固定点方程获得的共形态之间是否存在直接对应关系？
• RQ3 点缺陷在HOTRG和GILT粗粒化下的行为如何？其对关联函数有何影响？
• RQ4 在缺陷存在的情况下，GILT+HOTRG在多大程度上能保持两体和四体关联函数的准确性？
• RQ5 最小规范形式是否能增强缺陷系统中张量网络RG流的稳定性和准确性？

主要发现

• 在临界二维伊辛模型中，利用lTRG和转移矩阵方法对Δ < 3的共形态标度维数实现了高精度提取，结果与解析解一致。
• 通过lTRG本征向量成功计算出结构常数Cσσε，证实其与已知CFT数据的一致性。
• 在临界点附近计算了两体自旋-自旋关联函数，提取的指数与标度维数高度吻合。
• 四体关联函数得以计算，尽管质量较低，但仍能有效提取标度维数和结构常数。
• 在粗粒化过程中，缺陷被展宽为“准粒子云”，尤其在角点和边缘区域展宽更明显，但该效应可通过方法缓解以恢复准确的关联函数。
• lTRG固定点方程的本征向量被证明与粗粒化缺陷张量精确对应，验证了从格点算符插入构建共形态的有效性。

Figure 2 : (color online) Local Entanglement resides on the boundary and Long Range Entanglement in the bulk between two rectangular blocks of lattice sites.