[论文解读] Tensor networks as conformal transformations

Ashley Milsted, Guifré Vidal|arXiv (Cornell University)|May 31, 2018

Quantum many-body systems参考文献 17被引用 13

一句话总结

本文提出一种方法，通过张量网络实现临界量子自旋链上的非均匀（局域）共形变换——具体而言是非均匀欧几里得时间演化和尺度变换。通过在截断张量网络层的两端引入专门设计的“平滑张量”（smoother tensors），作者证明这些网络能精确模拟共形场论（CFT）在低能态上的变换，且在临界伊辛链上的数值验证表明，该方法在共形塔内实现精确对角作用，并正确再现非均匀映射的矩阵元。

ABSTRACT

Tensor networks are often used to accurately represent ground states of quantum spin chains. Two popular choices of such tensor network representations can be seen to implement linear maps that correspond, respectively, to euclidean time evolution and to global scale transformations. In this paper, by exploiting the local structure of the tensor networks, we explain how to also implement local or non-uniform versions of both euclidean time evolution and scale transformations. We demonstrate our proposal with a critical quantum spin chain on a finite circle, where the low energy physics is described by a conformal field theory (CFT), and where non-uniform euclidean time evolution and local scale transformations are conformal transformations acting on the Hilbert space of the CFT. We numerically show, for the critical quantum Ising chain, that the proposed tensor networks indeed transform the low energy states of the periodic spin chain in the same way as the corresponding conformal transformations do in the CFT.

研究动机与目标

• 将全局张量网络映射（欧几里得时间演化和尺度变换）扩展至量子自旋链上的局域非均匀版本。
• 在晶格模型中恢复因离散结构而显式破缺的涌现共形对称性。
• 通过将张量网络与共形场论变换关联，为其提供几何解释。
• 建立一个非微扰框架，用于研究弯曲时空中的相互作用量子场论。

提出的方法

• 设计截断的张量网络层，使用欧几里得子（euclideons）实现时间演化，使用MERA张量实现尺度变换，并在两端添加平滑张量以解决指标不匹配问题。
• 通过奇异值分解和等距约束的变分优化方法构建平滑张量，确保其与原始张量网络结构兼容。
• 利用转移矩阵的主导特征向量确定最优平滑张量参数，以保持对低能CFT态的映射不变。
• 将所得张量网络应用于临界量子伊辛链，并将其在低能态上的作用与精确CFT预测进行比较。
• 验证映射在共形塔内保持对角性，并正确再现非均匀共形变换的矩阵元。
• 借助晶格哈密顿量的数值对角化及与CFT原初态的匹配，验证张量网络映射的准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在临界自旋链的有限区域上，添加平滑张量的截断张量网络能否实现非均匀欧几里得时间演化？
• RQ2 这些非均匀映射是否保持了CFT中各共形塔内的对角结构？
• RQ3 自旋链中低能态之间的矩阵元能否与CFT中精确共形变换的对应矩阵元相匹配？
• RQ4 如何系统地构造平滑张量，以确保张量网络映射的兼容性与准确性？
• RQ5 这些张量网络在晶格模型的低能极限下，能在多大程度上恢复共形对称性？

主要发现

• 所提出的带平滑张量的张量网络成功在临界伊辛链的有限区域上实现了非均匀欧几里得时间演化，其作用与CFT中预期的共形变换完全一致。
• 映射在每个共形塔内保持对角性，证实低能态的变换行为与共形场论的预测完全相符。
• 通过张量网络计算的低能态之间矩阵元与CFT中非均匀时间演化对应的预测值完全一致。
• 平滑张量对精确映射至关重要：若无平滑张量，网络因指标不匹配和连接错误而无法实现共形变换。
• 该构造表明，尽管共形对称性在晶格上被破坏，但通过张量网络的局域结构与优化后的平滑张量，其在低能物理中重新涌现。
• 该方法提供了一个非微扰、经数值验证的框架，可用于模拟量子多体系统中的共形变换，具有在弯曲时空中的量子场论模拟的潜在应用价值。