[论文解读] Tensor networks as path integral geometry

Ashley Milsted, Guifré Vidal|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2018

Quantum many-body systems被引用 24

一句话总结

本文提出将某些张量网络——特别是用于描述临界量子自旋链的张量网络——解释为在弯曲时空上的共形场论（CFT）路径积分的离散近似。通过将张量与局部几何操作（欧几里得子为平坦区域，消纠缠子/等距变换为微分同胚）对应起来，作者通过恒定固有距离条件为网络赋予一致且唯一的几何结构，从而以与CFT不变性相容的方式，直接将张量网络结构与时空几何联系起来。

ABSTRACT

In the context of a quantum critical spin chain whose low energy physics corresponds to a conformal field theory (CFT), it was recently demonstrated [A. Milsted G. Vidal, arXiv:1805.12524] that certain classes of tensor networks used for numerically describing the ground state of the spin chain can also be used to implement (discrete, approximate versions of) conformal transformations on the lattice. In the continuum, the same conformal transformations can be implemented through a CFT path integral on some curved spacetime. Based on this observation, in this paper we propose to interpret the tensor networks themselves as a path integrals on curved spacetime. This perspective assigns (a discrete, approximate version of) a geometry to the tensor network, namely that of the underlying curved spacetime.

研究动机与目标

• 建立用于临界量子自旋链的张量网络的几何解释。
• 解决在分配张量网络几何结构时的模糊性，特别是像MERA这样的模型可能看似实现不相容几何结构的问题。
• 将张量网络形式化与在弯曲时空上的CFT路径积分联系起来，从而为网络赋予物理的时空几何结构。
• 通过结合CFT不变性与恒定最近邻固有距离条件，系统性地、唯一地表征张量网络的几何结构。

提出的方法

• 将张量网络建模为由三种张量类型组成：欧几里得子（来自欧几里得时间演化）、消纠缠子和等距变换（针对基态表示进行优化）。
• 将网络的作用理解为实现一个类似于在弯曲时空条带上的CFT路径积分的线性映射。
• 利用CFT路径积分在Weyl变换下的不变性，仅将几何结构定义为局部尺度因子的等价类。
• 施加一个几何约束：最近邻张量之间的固有距离恒定，从而唯一地固定几何结构（仅全局尺度和紫外截断例外）。
• 通过证明欧几里得子代表大小为 $a_{\text{UV}} \times a_{\text{UV}}$ 的平坦正方形区域，而消纠缠子和等距变换实现局部坐标重标度（微分同胚），推导出几何解释。
• 通过临界横场伊辛模型的数值验证，利用生成元 $Q$ 的微扰展开，将张量网络映射与精确的CFT路径积分映射进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将用于临界自旋链的张量网络解释为在弯曲时空上的CFT路径积分的离散版本？
• RQ2 在CFT不变性仅将几何结构固定为Weyl变换等价类的前提下，如何为张量网络赋予一致且唯一的几何结构？
• RQ3 何种几何约束能够解决为张量网络（如MERA）分配时空几何时的模糊性，这些网络可能看似实现了不相容的几何结构（如H²和dS²）？
• RQ4 张量网络的几何结构在多大程度上源于局部张量结构与全局网络拓扑之间的相互作用？
• RQ5 如何通过与精确CFT路径积分映射的比较，定量验证该几何解释的准确性？

主要发现

• 通过要求最近邻张量之间固有距离恒定，张量网络的几何结构被唯一确定，从而消除了由CFT Weyl不变性带来的模糊性。
• 欧几里得子代表大小为 $a_{\text{UV}} \times a_{\text{UV}}$ 的平坦时空区域，而消纠缠子和等距变换实现局部微分同胚。
• 网络的几何结构由通过微分同胚非平凡连接的平坦区域组成，形成对弯曲时空的离散近似。
• 与CFT路径积分映射的数值比较显示，随着紫外截断 $a_{\text{UV}}$ 的减小，平均绝对误差趋近于零，表明系统收敛于连续几何结构。
• CFT谱中的本征态塔收敛较慢，可能是因为矩阵元较少，且pMPS变分态对高能态的近似效果较差。
• 对于中心电荷为 $c=1/2$ 的临界伊辛模型，该方法在张量网络与CFT路径积分矩阵元之间实现了高保真度映射，误差主要由微扰截断和有限键维数下的pMPS近似造成。