[论文解读] Tensor networks for non-invertible symmetries in 3+1d and beyond

Pranay Gorantla, Shu-Heng Shao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2024

Advanced NMR Techniques and Applications被引用 8

一句话总结

论文使用 ZX 演算与 ZX 图来构建分析非可逆对偶算符（在 1+1d 的 Kramers-Wannier 与在 3+1d 的 Wegner 对偶）在晶格模型上，推导它们的算子代数，并扩展到图上的广义 Ising 模型，揭示与平移的混合以及 Lieb–Schultz–Mattis 类约束。

ABSTRACT

Tensor networks provide a natural language for non-invertible symmetries in general Hamiltonian lattice models. We use ZX-diagrams, which are tensor network presentations of quantum circuits, to define a non-invertible operator implementing the Wegner duality in 3+1d lattice $\mathbb{Z}_2$ gauge theory. The non-invertible algebra, which mixes with lattice translations, can be efficiently computed using ZX-calculus. We further deform the $\mathbb{Z}_2$ gauge theory while preserving the duality and find a model with nine exactly degenerate ground states on a torus, consistent with the Lieb-Schultz-Mattis-type constraint imposed by the symmetry. Finally, we provide a ZX-diagram presentation of the non-invertible duality operators (including non-invertible parity/reflection symmetries) of generalized Ising models based on graphs, encompassing the 1+1d Ising model, the three-spin Ising model, the Ashkin-Teller model, and the 2+1d plaquette Ising model. The mixing (or lack thereof) with spatial symmetries is understood from a unifying perspective based on graph theory.

研究动机与目标

• 在量子晶格系统中，超越群论描述的非可逆对称性研究的动机。
• 提供基于 ZX 演算的张量网络框架，用于在 1+1d 与 3+1d 构建和操作非可逆对偶算符。
• 展示这些算符如何与空间平移混合并引入 Lieb–Schultz–Mattis 类约束。
• 将 ZX 图形式扩展到图上的广义 Ising 模型，以捕捉非可逆对偶性和偶极对称性。

提出的方法

• 将对偶算符作为 ZX 图呈现，以编码晶格配置之间的映射（1+1dKW 与 3+1d Wegner 对偶）。
• 利用 ZX 演算的重写规则推导非可逆算子代数及其在晶格算符上的作用。
• 显示 Wegner 对偶涉及在 (1,1,1) 方向上的晶格平移，并将其与 toric-code 基态联系起来。
• 引入一个凝聚算子，将乘积态映射到 3+1d toric-code 基态，将对偶性与拓扑序联系起来。
• 在保持对偶性的前提下对 Z2 晶格规范理论进行变形，以探索简并基态和 LSM-type 约束。
• 提供广义 TFIM 在双分图上的 ZX 图表示，呈现非可逆对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在张量网络框架内表示和分析非可逆对偶对称性？
• RQ2 在 3+1d 中，非可逆 Wegner 对偶算子的代数是什么，它如何与晶格平移相互作用？
• RQ3 非可逆对偶性的概念是否可以扩展到图上的广义 Ising 模型，在何种条件下会出现与空间对称性的混合？
• RQ4 这些非可逆对称性对去变形模型的基态简并与 LSM-type 约束有何影响？
• RQ5 ZX 图如何刻画这些系统中的可逆和不可逆的奇偶/翻转对称性？

主要发现

• 在原始希尔伯特空间上构建了在 3+1d 晶格 Z2 规范理论中的不可逆 Wegner 对偶算子，作为 ZX 图表示。
• Wegner 对偶算子代数包含沿 (1,1,1) 方向的晶格平移，推广了 1+1d 的 KW 观测。
• 定义了一个凝聚算子，将乘积态映射到 3+1d toric-code 基态，将对偶性与拓扑序联系起来。
• 对保持对偶性的 Z2 晶格规范理论的变形显示可以得到在圆环上具有九重严格简并基态的模型，符合 LSM-type 约束。
• 将 ZX 图表示扩展到双分图广义 TFIM 的不可逆对偶性，阐明何时对偶算子会与空间对称性混合，何时不会混合。
• 该框架实现了 1+1d、3+1d 与基于图的 Ising-like 模型之间的不可逆对偶性的统一，包括不可逆的奇偶/翻转对称性。