[论文解读] Tensor product for symmetric monoidal categories

Vincent Schmitt|ArXiv.org|Nov 2, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文在小对称单子范畴、函子与单子变换的2-范畴 SMC 上构建了一个对称单子闭合2-范畴结构。通过泛性质定义张量积，并证明商范畴 SMC/∼ 继承了对称单子闭合结构，其结合图严格交换，且2-自然典范箭头成立。

ABSTRACT

We introduce a tensor product for symmetric monoidal categories with the following properties. Let SMC denote the 2-category with objects small symmetric monoidal categories, arrows symmetric monoidal functors and 2-cells monoidal natural transformations. Our tensor product together with a suitable unit is part of a structure on SMC that is a 2-categorical version of the symmetric monoidal closed categories. This structure is surprisingly simple. In particular the arrows involved in the associativity and symmetry laws for the tensor and in the unit cancellation laws are 2-natural and satisfy coherence axioms which are strictly commuting diagrams. We also show that the category quotient of SMC by the congruence generated by its 2-cells admits a symmetric monoidal closed structure.

研究动机与目标

• 为对称单子范畴定义张量积，使其在2-范畴 SMC 上具备对称单子闭合结构。
• 确立结合性、对称性与单位消去的典范箭头为2-自然，并满足严格交换的结合图。
• 证明商范畴 SMC/∼（模去由2-细胞生成的同余关系）继承了对称单子闭合结构。
• 提供 Eilenberg-Kelly 的单子闭合结构的2-范畴推广，具备严格结合性与2-函子性。

提出的方法

• 通过生成图与关系的泛性质，定义对称单子范畴 A 与 B 的张量积 A ⊗ B。
• 构造函子 En: SMC(A, [B, C]) → SMC(A ⊗ B, C) 与 Rn: SMC(A ⊗ B, C) → SMC(A, [B, C])，使其构成单子伴随，满足 Rn ◦ En = 1。
• 确立内部函子 [A, B] 的存在性，并为 SMC(A, B) 赋予对称单子结构。
• 证明同构 D: [A, [B, C]] → [B, [A, C]] 为2-自然，并满足强自然性条件。
• 引入结合性、单位与对称性的典范箭头 A′, L′, R′, S′，证明其为2-自然且具有拟逆。
• 对 SMC 关于由2-细胞生成的同余 ∼ 进行商化，并证明 SMC/∼ 通过符号 @ 继承对称单子闭合结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在对称单子范畴、函子与单子变换的2-范畴 SMC 上定义对称单子张量积？
• RQ2 SMC 中结合性、对称性与单位消去的典范箭头是否构成2-自然族，并满足严格交换的结合图？
• RQ3 商范畴 SMC/∼ 是否继承自原始2-范畴的对称单子闭合结构？
• RQ4 张量积 A ⊗ B 的泛性质如何与 SMC(A, [B, C]) 与 SMC(A ⊗ B, C) 之间的伴随关系相关联？
• RQ5 2-函子 π: Cat → Set 在构造商范畴 SMC/∼ 及其对称单子结构中的作用是什么？

主要发现

• 张量积 A ⊗ B 通过泛性质定义，其诱导出单子伴随 En ⊣ Rn，且满足 Rn ◦ En = 1。
• 结合性、单位与对称性的典范箭头 A′, L′, R′, S′ 为2-自然，并满足严格交换的结合图。
• 范畴 SMC/∼ 具备对称单子闭合结构，其张量为 @，单位为 I，结构映射为 A∼, R∼, L∼, S∼。
• 同构 D: [A, [B, C]] → [B, [A, C]] 为2-自然，并满足强自然性，从而支持对称单子结构。
• En 与 Rn 之间的伴随关系可下推至商范畴，且 Rn ◦ En = 1 在 SMC/∼ 中诱导出同构。
• 同构 SMC/∼(A@B, C) ∼= SMC/∼(A, [B, C]) 关于 A、B 与 C 是自然的，从而确认了 SMC/∼ 上的闭合结构。