[论文解读] Tensor products and the semi-Browder joint spectra

Enrico Boasso|ArXiv.org|May 21, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文将巴拿赫空间上有界算子交换元组的张量积的联合谱映射公式进行推广，特别地，通过 $ S $ 和 $ T $ 的相应谱，刻画了元组 $(S\otimes I, I\otimes T)$ 的半 Browder 与分裂半 Browder 联合谱。关键结果通过 Koszul 复形与缺陷谱、近似点谱等谱不变量，将已知的希尔伯特空间公式推广至巴拿赫空间。

ABSTRACT

Given two complex Banach spaces $X_1$ and $X_2$, a tensor product of $X_1$ and $X_2$, $X_1 ilde{\otimes}X_2$, in the sense of J. Eschmeier ([5]), and two finite tuples of commuting operators, $S=(S_1,\ldots ,S_n)$ and $T=(T_1,\ldots ,T_m)$, defined on $X_1$ and $X_2$ respectively, we consider the $(n+m)$-tuple of operators defined on $X_1 ilde{\otimes}X_2$, $(S\otimes I,I\otimes T)= (S_1\otimes I,\ldots ,S_n\otimes I,I\otimes T_1,\ldots ,I \otimes T_m)$, and we give a description of the semi-Browder joint spectra introduced by V. Kordula, V. Müller and V. Rako$\check{c}$evi$\acute{ c}$ in [7] and of the split semi-Browder joint spectra (see section 3), of the $(n+m)$-tuple $(S\otimes I ,I\otimes T)$, in terms of the corresponding joint spectra of $S$ and $T$. This result is in some sense a generalization of a formula obtained for other various Browder spectra in Hilbert spaces and for tensor products of operators and for tuples of the form $(S\otimes I ,I\otimes T)$. In addition, we also describe all the mentioned joint spectra for a tuple of left and right multiplications defined on an operator ideal between Banach spaces in the sense of [5].

研究动机与目标

• 将算子张量积在希尔伯特空间上的已知联合谱公式推广至一般复巴拿赫空间。
• 定义并研究巴拿赫空间上交换算子元组的分裂半 Browder 联合谱，建立其主要谱性质。
• 以 $ S $ 和 $ T $ 的谱表示张量积元组 $(S\otimes I, I\otimes T)$ 的半 Browder 与 Fredholm 联合谱。
• 使用相同框架描述巴拿赫空间之间算子理想上左乘与右乘算子的联合谱。
• 统一并推广非希尔伯特空间设定下关于张量积与联合谱的 Browder 谱相关先前结果。

提出的方法

• 为巴拿赫空间上的交换元组引入分裂半 Browder 联合谱，并证明其谱性质，包括紧致性、非空性及谱映射性质。
• 利用与算子元组相关的 Koszul 复形构造来分析谱不变量，特别利用同构关系 $\tilde{K}^r \cong K_1^r \tilde{\otimes} K_2'^r $ 分析张量积元组。
• 应用本质分裂缺陷谱的解析谱映射定理及伴随算子的性质，推导包含关系。
• 采用 Buoni、Harte 与 Wickstead 的 Fredholm 与半 Fredholm 联合谱作为分析的基础工具。
• 利用对偶性及缺陷谱与近似点谱之间的对偶同构，特别是通过 $\sigma_\pi(T) = \sigma_\delta(T')$ 与 $\sigma_{{\mathcal{B}}_+}(T) = \sigma_{{\mathcal{B}}_-}(T')$，实现谱不变量在对偶空间间的传递。
• 通过将早期结果（如定理 5.1）的证明进行调整，用分裂谱不变量与对偶性论证替代标准谱工具，建立包含链。

实验结果

研究问题

• RQ1 张量积元组 $(S\otimes I, I\otimes T)$ 的半 Browder 联合谱与巴拿赫空间上单个元组 $ S $ 和 $ T $ 的谱之间有何关系？
• RQ2 此类张量积元组的分裂半 Browder 联合谱的结构如何？其与标准谱及缺陷谱有何关联？
• RQ3 在何种条件下，谱包含关系会成为等式，特别是在希尔伯特空间情形？
• RQ4 算子理想上左乘与右乘算子 $ L_S, R_T $ 的联合谱与生成算子的谱有何关系？
• RQ5 Koszul 复形的谱映射性质是否可用于推导非希尔伯特空间设定下半 Browder 谱的谱包含关系？

主要发现

• 半 Browder 联合谱满足包含关系 $\sigma_{{\mathcal{B}}_-}(S) \times \sigma_\pi(T) \cup \sigma_\delta(S) \times \sigma_{{\mathcal{B}}+}(T) \subseteq \sigma_{{\mathcal{B}}_-}(S\otimes I, I\otimes T)$。
• 分裂半 Browder 联合谱满足 $sp_{{\mathcal{B}}_-}(S\otimes I, I\otimes T) \subseteq sp_{{\mathcal{B}}_-}(S) \times sp_\pi(T) \cup sp_\delta(S) \times sp_{{\mathcal{B}}_+}(T)$。
• 在希尔伯特空间情形，半 Browder 与分裂半 Browder 谱的包含关系均成为等式，推广了希尔伯特空间设定下的已知结果。
• 算子理想上左乘与右乘算子 $ L_S, R_T $ 的联合谱满足 $\sigma_{{\mathcal{B}}_-}(L_S, R_T) \supseteq \sigma_{{\mathcal{B}}_-}(S) \times \sigma_\pi(T) \cup \sigma_\delta(S) \times \sigma_{{\mathcal{B}}_+}(T)$。
• 证明依赖于张量积的 Koszul 复形与各自主复形张量积之间的同构，使通过同调代数方法实现谱分析成为可能。
• 通过 $\sigma_\pi(T)$ 与 $\sigma_\delta(T')$ 之间，以及 $\sigma_{{\mathcal{B}}_+}(T)$ 与 $\sigma_{{\mathcal{B}}_-}(T')$ 之间的对偶性，实现了谱不变量在对偶空间间的传递，这对建立包含关系至关重要。