[论文解读] Tensor products of C(X)-algebras over C(X)

Étienne Blanchard|Dec 15, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用 46

一句话总结

本文研究了在 C(X)-代数上关于 C(X) 的张量积的 C*-范数，引入了理想 I(A,B) 和 J(A,B) 以刻画此类范数存在的条件。证明了在商代数 (A⊗ₐₗgB)/J(A,B) 上存在最小与最大的 C*-范数，并确立了 I(A,B) = J(A,B) 成立的条件，从而解决了 Elliott 提出的问题。主要贡献在于为紧致 Hausdorff 空间上的连续 C*-代数场张量积提供了一个框架。

ABSTRACT

Given a Hausdorff compact space X, we study the C^*-(semi)-norms on the algebraic tensor product $A\otimes_{alg,C(X)} B$ of two C(X)-algebras A and B over C(X). In particular, if one of the two C(X)-algebras defines a continuous field of C^*-algebras over X, there exist minimal and maximal C^*-norms on $A\otimes_{alg,C(X)} B$ but there does not exist any C^*-norm on $A\otimes_{alg,C(X)} B$ in general.

研究动机与目标

• 研究两个 C(X)-代数在 C(X) 上的代数张量积上的 C*-范数，特别是在连续 C*-代数场的背景下。
• 解决在 A⊗ₐₗgB 上关于 C(X) 不存在一般 C*-范数的问题，即使两个代数都是连续场时也是如此。
• 定义并分析理想 I(A,B) 和 J(A,B)，其中 I(A,B) 捕获 C(X)-模结构，而 J(A,B) 是所有在 I(A,B) 上消失的 C*-半范数也在此消失的最大理想。
• 解决 G.A. Elliott 提出的问题：何时 I(A,B) = J(A,B)，这决定了张量积是否允许存在 C*-范数。
• 研究在 C(X) 上的最小与最大张量积的结合性，表明最大张量积是结合的，但最小张量积一般不是。

提出的方法

• 将 I(A,B) 定义为 A⊗ₐₗgB 中由元素 (fa)⊗b − a⊗(fb) 生成的自伴理想，其中 f ∈ C(X)，a ∈ A，b ∈ B，以捕捉 C(X)-模结构。
• 引入 J(A,B) 为 A⊗ₐₗgB 中满足对所有 x ∈ X 有 αₓ = 0 在 Aₓ⊗ₐₗgBₓ 中的元素集合，该理想包含 I(A,B)。
• 证明每个在 A⊗ₐₗgB 上且在 I(A,B) 上消失的 C*-半范数也必在 J(A,B) 上消失，从而表明 J(A,B) 是研究 C*-范数的自然商理想。
• 利用表示理论与泛函分析技术，证明在商代数 (A⊗ₐₗgB)/J(A,B) 上存在最小 C*-范数 ‖·‖ₘ 与最大 C*-范数 ‖·‖ₘ。
• 通过忠实表示场构造 A⊗ₘₗₐₗgB 在希尔伯特 C(X)-模上的 C(X)-线性表示，从而在连续场情形下证明最小张量积的结合性。
• 应用 Cramer 法则与紧致空间上的连续性论证，表明若某矩阵在某点可逆，则其在邻域内仍可逆，从而实现函数的延拓，并证明纤维恒等式中常数的消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下理想 I(A,B) 与 J(A,B) 相等，从而确保商代数 (A⊗ₐₗgB)/J(A,B) 允许存在 C*-范数？
• RQ2 在 (A⊗ₐₗgB)/J(A,B) 上的最小与最大 C*-范数是什么？它们与 X 上连续 C*-代数场结构有何关系？
• RQ3 在一般情况下，C(X)-代数在 C(X) 上的最小张量积是否结合？在何种条件下结合性成立？
• RQ4 纤维范数 ‖aₓ‖ 与 A⊗ₐₗgB 上的全局范数有何关系？上/下半连续性在构造中起什么作用？
• RQ5 两个 X 上的连续 C*-代数场的张量积能否通过最小或最大 C*-范数实现为连续场？

主要发现

• 在商代数 (A⊗ₐₗgB)/J(A,B) 上，总是存在最小 C*-范数 ‖·‖ₘ 与最大 C*-范数 ‖·‖ₘ，从而解决了在一般情形下范数存在性的问题。
• 理想 J(A,B) 是所有在 I(A,B) 上消失的 C*-半范数也在此消失的最大理想，因此是 C(X) 上 C*-范数理论的自然商理想。
• 当且仅当张量积 (A⊗ₐₗgB)/J(A,B) 允许存在 C*-范数时，有 I(A,B) = J(A,B)，这等价于张量积上存在连续场结构。
• 在 C(X) 上的最大张量积，记为 ⊗ₘ^{C(X)}，对 C(X)-代数是结合的，其证明基于 C*-代数最大张量积的纤维结合性。
• 在一般情况下，C(X)-代数在 C(X) 上的最小张量积，记为 ⊗ₘ^{C(X)}，不是结合的；存在使用 ℕ 的 Alexandroff 紧化的反例。
• 对于可分的、具有忠实表示场的连续 C*-代数场，C(X) 上的最小张量积是结合的，因为其在希尔伯特 C(X)-模上的相关表示是忠实的，并保持结合性。