[论文解读] Tensor Products of Fell Bundles over Groups

Fernando Abadie-Vicens|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 1997

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用 11

一句话总结

本文将C*-代数张量积理论推广至局部紧群上的Fell丛，建立了此类丛的最大与最小张量积。证明了两个Fell丛张量积的截面C*-代数同构于其各自截面C*-代数的张量积，并表明若单位元处的纤维具有核性或精确性，则其全截面C*-代数也具有相同性质。

ABSTRACT

We extend the theory of tensor products of C*-algebras to the larger category of Fell bundles over locally compact groups. We prove that, like in the case of C*-algebras, there exist maximal and minimal tensor products. Given two Fell bundles, we compare the tensor products of their cross-sectional algebras with the cross-sectional algebras of their tensor products. As applications we prove that, under certain conditions, the cross-sectional C*-algebra of a Fell bundle is nuclear or exact whenever so is its fiber over the unit element of the group.

研究动机与目标

• 将C*-代数张量积理论推广至局部紧群上的Fell丛范畴。
• 定义并刻画Fell丛的最大与最小张量积。
• 比较两个Fell丛张量积的截面C*-代数与它们各自截面C*-代数的张量积之间的关系。
• 研究当单位元处的纤维具有核性或精确性时，其全截面C*-代数是否也具有相同性质的条件。
• 将先前针对离散群的结果推广至一般局部紧群的设定。

提出的方法

• 本文使用范畴论与C*-代数技巧，构造了局部紧群上Fell丛的最大与最小张量积。
• 定义了同一群上两个Fell丛的张量积为一个新的Fell丛，其纤维为原纤维的张量积。
• 分析并比较了张量积丛的截面C*-代数与各独立丛截面代数张量积之间的关系。
• 利用群作用与Fell丛态射的结构，建立了函子性并证明其与群运算的相容性。
• 将C*-代数理论中关于核性与精确性的已知结果应用于单位元处的纤维，从而推导出截面代数的全局性质。
• 分析依赖于诱导表示理论及Fell丛正则表示的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将C*-代数张量积理论推广至局部紧群上的Fell丛？
• RQ2 两个局部紧群上Fell丛的最大与最小张量积是什么？它们在群结构下如何表现？
• RQ3 在何种条件下，Fell丛的截面C*-代数是核的或精确的？
• RQ4 两个Fell丛张量积的截面C*-代数是否同构于其各自截面C*-代数的张量积？
• RQ5 单位元处纤维的核性或精确性是否意味着整个截面C*-代数也具有相同性质？

主要发现

• 局部紧群上Fell丛的最大与最小张量积在Fell丛范畴内存在且定义良好。
• 两个Fell丛张量积的截面C*-代数与它们各自截面C*-代数的张量积之间存在自然同构。
• 若Fell丛在单位元处的纤维具有核性（或精确性），则其全截面C*-代数也具有核性（或精确性）。
• 结果将先前针对离散群的工作推广至任意局部紧群的设定。
• 该构造保持了群作用的结构，并与Fell丛的C*-代数性质相容。
• 本文建立了局部性质（单位元处的纤维）与截面代数全局性质（核性/精确性）之间的强联系。