[论文解读] Tensor products of maximal abelian subalgebras of C*-algebras

Simon Wassermann|ArXiv.org|Nov 1, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文確立了在什麼條件下，C*-代數中兩個最大阿貝爾自伴子代數（masa）的張量積在完成的張量積中仍保持最大阿貝爾性。證明指出，若其中一個masa具有凱迪森-辛格延拓性質，而另一個包含近似單位元，則對於任意C*-範數β，$ C_1 \otimes C_2 $ 在 $ A_1 \otimes_\beta A_2 $ 中是最大阿貝爾的。反例表明，若兩條件皆不成立，則結論不成立，從而解決了一個長期存在的問題，並與凱迪森-辛格問題產生聯繫。

ABSTRACT

It is shown that if $C_1$ and $C_2$ are maximal abelian self-adjoint subalgebras (masas) of C*-algebras $A_1$ and $A_2$, respectively, then the completion $C_1\otimes C_2$ of the algebraic tensor product $C_1\odot C_2$ of $C_1$ and $C_2$ in any C*-tensor product $A_1\otimes_β A_2$ is maximal abelian provided that $C_1$ has the extension property of Kadison and Singer and $C_2$ contains an approximate identity for $A_2$. An example is given to show that $C_1\otimes C_2$ can fail to be a masa in $A_1\otimes_β A_2$ with $A_1$ and $A_2$ unital if neither $C_1$ nor $C_2$ has the extension property. This gives an answer to a long-standing question, but leaves open some other interesting problems, one of which turns out to have a potentially intriguing implication for the Kadison-Singer extension problem.

研究动机与目标

• 確定兩個C*-代數中masa的張量積在其環境代數的完成C*-張量積中保持最大阿貝爾性的條件。
• 解決一個長期懸而未決的問題：對於任意C*-範數β，$ C_1 \otimes C_2 $ 是否在 $ A_1 \otimes_\beta A_2 $ 中是最大阿貝爾的，而不僅僅是在最小範數下。
• 釐清凱迪森-辛格延拓性質與近似單位元在張量積下保持最大阿貝爾性的作用。
• 提供反例，表明當兩條件皆不成立時結論會失敗，從而確立定理的嚴密條件。

提出的方法

• 證明利用[12, 定理4]的截面映射結果，證明 $ C_1 \otimes_{\min} C_2 $ 是 $ A_1 \otimes_{\min} A_2 $ 中的masa，並透過狀態的因式分解將此結果推廣至任意C*-範數。
• 應用引理1的狀態因式分解：若一狀態在 $ A_1 \otimes_\beta A_2 $ 上限制到 $ A_1 $ 上為純態，則其可分解為 $ \varphi_1 \otimes \varphi_2 $。
• 證明採用反證法：假設 $ x \in (C \otimes 1)^c \setminus C \otimes A_2 $，則構造出 $ C $ 中的一個真閉理想，與延拓性質矛盾。
• 使用C*-代數 $ A $ 的單位化 $ \tilde{A} $ 來處理非單位元的情況，其中 $ \tilde{\beta} $ 表示 $ \tilde{A}_1 \odot \tilde{A}_2 $ 上的擴展C*-範數。
• 反例利用約化C*-代數 $ C^*_r(\mathbb{F}_2) $ 和C*-代數 $ A_0 \subset B(H) $，顯示當條件不成立時，$ C_1 \otimes C_2 $ 在 $ A_1 \otimes_{\max} A_2 $ 中不是最大阿貝爾的。
• 構造涉及 $ B(H) $ 中masa $ C_0 $ 的弱算子拓撲閉包，並利用 $ \sigma(u(t \oplus 0)u) = \lambda 1 $ 這一性質，得出在非單位元代數中 $ \lambda = 0 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什麼條件下，兩個masa的張量積在它們環境C*-代數的完成C*-張量積中是最大阿貝爾的？
• RQ2 一個masa具有凱迪森-辛格延拓性質，而另一個包含近似單位元，是否足以確保張量積的最大阿貝爾性？
• RQ3 若兩條件皆不滿足，結論是否可能失敗？若成立，能否構造出明確的反例？
• RQ4 $ C_1 \otimes C_2 $ 在 $ A_1 \otimes_{\max} A_2 $ 中的最大阿貝爾性與凱迪森-辛格延拓問題有何關聯？
• RQ5 若 $ \ell^\infty(\mathbb{N}) \otimes \ell^\infty(\mathbb{N}) $ 在 $ B(\ell^2(\mathbb{N})) \otimes_{\max} B(\ell^2(\mathbb{N})) $ 中不是最大阿貝爾的，是否意味著 $ \ell^\infty(\mathbb{N}) $ 缺乏延拓性質？

主要发现

• 若 $ C_1 \subset A_1 $ 具有凱迪森-辛格延拓性質，且 $ C_2 \subset A_2 $ 包含近似單位元，則對於任意C*-範數β，$ C_1 \otimes C_2 $ 在 $ A_1 \otimes_\beta A_2 $ 中是最大阿貝爾的。
• 若兩條件皆不成立，則結論不成立：構造出明確的反例，顯示 $ C_1 \otimes C_2 $ 在 $ A_1 \otimes_{\max} A_2 $ 中不是最大阿貝爾的。
• 在反例中，$ C_1 \subset C^*_r(\mathbb{F}_2) $ 是一個具有延拓性質的masa（由一個典型單位元生成），而 $ C_0 \subset A_0 \subset B(H) $ 是一個不包含近似單位元的masa。
• 該構造顯示 $ x \in (C_1 \otimes C_0)^c \setminus (C_1 \otimes C_0) $，從而證明在最大張量積中不具最大阿貝爾性。
• 本文確立了 $ C_1 \otimes C_2 $ 在 $ A_1 \otimes_{\min} A_2 $ 中是最大阿貝爾的，但在 $ A_1 \otimes_{\max} A_2 $ 中不一定是，突顯了對C*-範數選擇的敏感性。
• 一個潛在的推論是：若 $ \ell^\infty(\mathbb{N}) \otimes \ell^\infty(\mathbb{N}) $ 在 $ B(\ell^2(\mathbb{N})) \otimes_{\max} B(\ell^2(\mathbb{N})) $ 中不是最大阿貝爾的，則 $ \ell^\infty(\mathbb{N}) $ 不具有凱迪森-辛格延拓性質。