[论文解读] Tensor products with bounded continuous functions

Dana P. Williams|ArXiv.org|Jul 9, 2003

Advanced Topology and Set Theory参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文研究了有界连续函数空间与C*-代数之间的张量积同构，证明了当且仅当 $ X $ 为伪紧致时，$ C^b(X) \otimes A \to C^b(X,A) $ 是同构。此外，还证明了当且仅当 $ X $ 与 $ Y $ 均为伪紧致时，$ C^b(X,C^b(Y)) \to C^b(X\times Y) $ 是同构，从而给出了乘积空间的Stone-Čech紧化是否为紧化乘积的刻画。

ABSTRACT

We study that natural inclusions $C^b(X) ensor A$ into $C^b(X,A)$ and $C^b(X, C^b(Y))$ into $C^b(X imes Y)$. In particular, excepting trivial cases, both these maps are isomorphisms only when $X$ and $Y$ are pseudocompact. This implies a result of Glicksberg showing that the Stone-Cech compactificiation $β(X imes Y)$ is naturally identified with $βX imes βY$ if and only if $X$ and $Y$ are pseudocompact.

研究动机与目标

• 确定对于局部紧致的Hausdorff空间 $ X $ 与C*-代数 $ A $，自然映射 $ C^b(X) \otimes A \to C^b(X,A) $ 何时为同构。
• 分析在范数拓扑下，映射 $ C^b(X,C^b(Y)) \to C^b(X\times Y) $ 的同构条件。
• 通过张量积同构建立伪紧致性的拓扑刻画。
• 利用张量积技巧重新推导并证明Glicksberg关于Stone-Čech紧化乘积结构的结果。

提出的方法

• 在 $ C^b(X,A) $ 上使用上确界范数，为代数张量积 $ C^b(X) \odot A $ 定义C*-范数，从而得到其完备化 $ C^b(X) \otimes A $。
• 证明 $ f \in C^b(X,A) $ 属于 $ C^b(X) \otimes A $ 当且仅当 $ f $ 的像具有紧致闭包。
• 在局部紧致与仿紧性的假设下，应用单位划分论证，构造有限覆盖并逼近张量积中的函数。
• 应用Frolík引理，证明当 $ Y $ 伪紧致时，差值的上确界范数 $ \|f(x) - f(x_0)\|_\infty $ 是连续的。
• 通过嵌套邻域与序列的反证法，证明若 $ Y $ 不伪紧致，则映射 $ \iota_2 $ 不是满射。
• 利用 $ X \times Y $ 的伪紧致性，从 $ C^b(Y) $ 中提取收敛子列，当 $ Y $ 不伪紧致时导致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，自然映射 $ \iota_1: C^b(X) \otimes A \to C^b(X,A) $ 对于C*-代数 $ A $ 是同构？
• RQ2 在范数拓扑下，映射 $ \iota_2: C^b(X,C^b(Y)) \to C^b(X\times Y) $ 何时为同构？
• RQ3 当 $ X $ 与 $ Y $ 伪紧致时，如何影响 $ X \times Y $ 的Stone-Čech紧化结构？
• RQ4 函数 $ f \in C^b(X,A) $ 的像与其属于完备化张量积 $ C^b(X) \otimes A $ 之间有何关系？
• RQ5 能否从张量积同构推导出Glicksberg关于 $ \beta(X \times Y) \cong \beta X \times \beta Y $ 的结果？

主要发现

• 当且仅当 $ X $ 伪紧致时，映射 $ \iota_1: C^b(X) \otimes A \to C^b(X,A) $ 是同构，前提是 $ A $ 为无限维。
• 当且仅当 $ Y $ 伪紧致时，映射 $ \iota_2: C^b(X,C^b(Y)) \to C^b(X\times Y) $ 是同构，假设 $ X $ 无限且伪紧致。
• 若 $ X $ 与 $ Y $ 均为伪紧致，则通过乘积映射的自然延拓，有 $ \beta(X \times Y) \cong \beta X \times \beta Y $。
• 函数 $ f \in C^b(X,A) $ 的像为预紧当且仅当 $ f \in C^b(X) \otimes A $，这刻画了张量积映射的像。
• 当 $ Y $ 不伪紧致时，可构造一个反例函数 $ F \in C^b(X\times Y) $，使得关联函数 $ f(x) = F(x,\cdot) $ 不连续，从而说明 $ \iota_2 $ 不是满射。
• 证明依赖于在 $ X $ 中构造序列 $ \{x_n\} $ 与 $ Y $ 中互不相交的预紧开集 $ \{V_n\} $，在假设 $ f $ 连续且 $ Y $ 伪紧致时导致矛盾。