[论文解读] Tensor Ranks and the Fine-Grained Complexity of Dynamic Programming

Josh Alman, Ethan Turok+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2023

Optimization and Search Problems被引用 1

一句话总结

本文提出了一种基于张量的框架，用于分析高维动态规划（DP）问题的细粒度复杂度，表明该复杂度由张量秩和切片秩紧密决定。研究证明，当张量秩为常数或切片秩为1时，相对于标准DP可实现多项式时间加速；但在SETH假设下，当张量秩为略微超常数或切片秩≥3时，此类加速不可能实现，从而统一并扩展了关于多边形三角剖分、矩阵链乘法和最优二叉搜索树等已知问题的结果。

ABSTRACT

Generalizing work of Künnemann, Paturi, and Schneider [ICALP 2017], we study a wide class of high-dimensional dynamic programming (DP) problems in which one must find the shortest path between two points in a high-dimensional grid given a tensor of transition costs between nodes in the grid. This captures many classical problems which are solved using DP such as the knapsack problem, the airplane refueling problem, and the minimal-weight polygon triangulation problem. We observe that for many of these problems, the tensor naturally has low tensor rank or low slice rank. We then give new algorithms and a web of fine-grained reductions to tightly determine the complexity of these problems. For instance, we show that a polynomial speedup over the DP algorithm is possible when the tensor rank is a constant or the slice rank is 1, but that such a speedup is impossible if the tensor rank is slightly super-constant (assuming SETH) or the slice rank is at least 3 (assuming the APSP conjecture). We find that this characterizes the known complexities for many of these problems, and in some cases leads to new faster algorithms.

研究动机与目标

• 通过张量结构理解高维动态规划问题的细粒度复杂度。
• 将先前关于一维LWS问题的工作推广至高维，采用张量公式化方法。
• 基于张量秩和切片秩，识别出相对于标准DP实现多项式时间加速的可能或不可能条件。
• 通过张量秩分析统一并解释已知的算法改进（例如，多边形三角剖分的O(n log n)算法）。
• 利用SETH和APSP猜想建立紧致的条件下界。

提出的方法

• 将一类高维DP问题形式化为在具有转移代价张量的网格中寻找最短路径的问题。
• 将代价张量的张量秩和切片秩定义为影响复杂度的关键结构参数。
• 使用细粒度归约将DP问题与Min-IP和APSP等基本问题关联。
• 应用几何与代数技术，在亚二次时间内求解低秩张量实例。
• 利用强指数时间假设（SETH）和APSP猜想证明条件下的下界。
• 通过递归分解与张量分解，将k维LWS问题归约至低维问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，高维问题相对于标准动态规划可实现多项式加速？
• RQ2 张量秩如何影响DP问题的细粒度复杂度？
• RQ3 切片秩在决定DP问题可解性方面起什么作用？
• RQ4 已知的更快算法（例如，多边形三角剖分的O(n log n)算法）能否通过张量秩结构加以解释？
• RQ5 对于张量秩为超常数或切片秩≥3的DP问题，是否存在紧致的条件下的下界？

主要发现

• 当转移代价张量的秩为常数或切片秩为1时，相对于标准DP可实现多项式加速。
• 在SETH假设下，若张量秩为略微超常数（例如，2^{log* n}），则此类加速不可能实现。
• 在APSP猜想下，若切片秩至少为3，则不可能实现多项式加速。
• 已知的多边形三角剖分O(n log n)算法可由张量秩为1加以解释。
• 最优二叉搜索树问题的切片秩为1，这解释了其O(n²)复杂度以及高效算法的存在。
• 该框架通过张量秩分析统一并解释了若干经典DP问题（包括矩阵链乘法和背包问题变种）的复杂度。