[论文解读] Tensor renormalization group analysis of ${ m CP}(N-1)$ model in two dimensions

Hikaru Kawauchi, Shinji Takeda|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文通过高阶张量重正化群（HOTRG）方法，提出了一种二维 CP(N−1) 模型的张量网络表示，实现了无符号问题的数值分析。该方法在大 β 区域下，验证了 CP(1) 模型的 HOTRG 结果与蒙特卡罗模拟及 O(3) 非线性 σ 模型结果的一致性，证实了该方法在具有拓扑项的非阿贝尔模型中的有效性。

ABSTRACT

We apply the higher order tensor renormalization group to lattice CP($N-1$) model in two dimensions. A tensor network representation of CP($N-1$) model is derived. We confirm that the numerical results of the CP(1) model without the $θ$-term using this method are consistent with that of the O(3) model which is analyzed by the same method in the region $β\gg 1$ and that obtained by Monte Carlo simulation in a wider range of $β$.

研究动机与目标

• 开发二维 CP(N−1) 模型的张量网络表示，以实现无符号问题的数值分析。
• 将 HOTRG 方法在 CP(1) 模型上的结果与已建立的蒙特卡罗模拟结果及 O(3) 模型结果进行验证。
• 为未来通过张量网络技术引入 CP(N−1) 模型中的 θ 项，建立一个计算框架。

提出的方法

• 通过玻尔兹曼权重的类特征展开，推导 CP(N−1) 模型配分函数的张量网络表示。
• 使用修正贝塞尔函数表达展开系数 h_{(l;m)}(β)，并在有限 l_max 处截断求和。
• 将依赖场的特征函数 f_{(l;m)}(z_i,z_j) 分解为复数场及其共轭的乘积。
• 对 N 维复标量场 z_i 和联络变量 A_{i,j} 进行积分，得到带有指标 l、m 和旋量指标的自能张量。
• 应用高阶张量重正化群（HOTRG）对张量网络进行粗粒化处理，并计算配分函数。
• 利用约束 ∫dA exp[i(m−l)A] = δ_{l,m} 在联络积分后强制实现 l = m。

实验结果

研究问题

• RQ1 HOTRG 方法能否在无符号问题的前提下，准确计算二维 CP(1) 模型的热力学性质？
• RQ2 在不同 β 值下，HOTRG 方法对 CP(1) 模型的计算结果与蒙特卡罗模拟的定量比较如何？
• RQ3 在已知映射关系下，CP(1) 模型的 HOTRG 结果是否与 O(3) 非线性 σ 模型结果一致？
• RQ4 在有限 l_max 处截断对 HOTRG 计算中 CP(1) 模型系统误差的影响如何？
• RQ5 张量网络框架能否扩展以包含 CP(N−1) 模型中的 θ 项？会面临哪些计算挑战？

主要发现

• 在 θ=0 且 l_max=2 时，HOTRG 方法对 CP(1) 模型的计算结果与 4×4 网格上的蒙特卡罗模拟结果高度一致，微小偏差归因于截断误差。
• 通过关系式 E_{CP(1)}(β) = E_{O(3)}(β) + 6 - 1/β 映射后，HOTRG 计算的 CP(1) 模型平均能量与 O(3) 模型结果一致，证实了在大 β 极限下的一致性。
• HOTRG 中的系统误差随 l_max 增大而减小，且在 β→∞ 极限下观察到向精确结果收敛的趋势。
• 张量网络表示通过类特征展开和对 z 与 A 场的解析积分，成功编码了 CP(N−1) 模型的自由度。
• 该方法无符号问题，适用于未来对 CP(N−1) 模型中 θ 项的研究。
• 对于 θ≠0 的情况，由于需考虑 l≠m 项，计算成本预计将较高，需进一步优化技术。