[论文解读] Tensors with maximal symmetries

Austin Conner, Fulvio Gesmundo+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2019

Tensor decomposition and applications参考文献 22被引用 8

一句话总结

该论文在 $m \geq 7$ 的 1-泛性条件下，对 $\mathbb{C}^m \otimes \mathbb{C}^m \otimes \mathbb{C}^m$ 中的复张量进行了分类，研究其最大和次大对称群。结果表明，在奇数维中，最大对称维数为 $\binom{m+1}{2}$，且仅由大号 Coppersmith-Winograd 张量实现；而在偶数维中，存在一种具有更大对称性的新张量。这些结果揭示了新的几何结构，并阐明了 Strassen 激光法在矩阵乘法复杂度研究中的局限性。

ABSTRACT

We classify tensors with maximal and next to maximal dimensional symmetry groups under a natural genericity assumption (1-genericity), in dimensions greater than 7. In other words, we classify minimal dimensional orbits in the space of (m,m,m) tensors assuming 1-genericity. Our study uncovers new tensors with striking geometry. This paper was motivated by Strassen's laser method for bounding the exponent of matrix multiplication. The best known tensor for the laser method is the large Coppersmith-Winograd tensor, and our study began with the observation that it has a large symmetry group, of dimension m^2/2 +m/2. We show that in odd dimensions, this is the largest possible for a 1-generic tensor, but in even dimensions we exhibit a tensor with a larger dimensional symmetry group. In the course of the proof, we classify nondegenerate bilinear forms with large dimensional stabilizers, which may be of interest in its own right.

研究动机与目标

• 对 $\mathbb{C}^m \otimes \mathbb{C}^m \otimes \mathbb{C}^m$ 中在 $m \geq 7$ 条件下具有最大和次大对称群的张量进行分类，前提是满足 1-泛性条件。
• 理解在矩阵乘法复杂度背景下，具有大稳定子群的张量的几何与代数结构。
• 确定是否存在具有大对称性的新张量，可改进用于界定矩阵乘法指数 $\omega$ 的激光法。
• 对具有大稳定子群的非退化双线性形式进行分类，该问题在表示理论与代数几何中具有独立兴趣。

提出的方法

• 作者分析 $GL_m^\times 3$ 在 $\mathbb{C}^m \otimes \mathbb{C}^m \otimes \mathbb{C}^m$ 上的作用，并在 1-泛性条件下对最小维数轨道进行分类。
• 他们使用李理论技术研究张量的对称李代数，重点分析稳定子群的维数。
• 该分类依赖于在 1-泛性假设下分析诱导映射 $T_A: A^* \to B \otimes C$，$T_B: B^* \to A \otimes C$，和 $T_C: C^* \to A \otimes B$。
• 他们引入并研究了骨架张量及其相关双线性形式 $\mathcal{B}$，利用 Strassen 的交换方程分析对称代数的李代数。
• 证明过程涉及对李括号 $[T(Y), T(Z)]$ 的详细分析，以确定对称代数的结构。
• 使用 ALS 等数值方法估算候选张量的边界秩，以支持理论结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $m \geq 7$ 时，$\mathbb{C}^m \otimes \mathbb{C}^m \otimes \mathbb{C}^m$ 中 1-泛性张量的最大可能对称群维数是多少？
• RQ2 在偶数维中，是否存在对称群大于 Coppersmith-Winograd 张量的张量？
• RQ3 具有大对称群的张量能否改进用于界定矩阵乘法指数 $\omega$ 的激光法？
• RQ4 在 $\mathbb{C}^k$ 上，哪些非退化双线性形式的稳定子群维数至少为 $\binom{k}{2}$？
• RQ5 非同构于 Coppersmith-Winograd 张量的最小边界秩张量是否面临激光法中的相同障碍？

主要发现

• 当 $m \geq 7$ 且为奇数时，$\mathbb{C}^m \otimes \mathbb{C}^m \otimes \mathbb{C}^m$ 中 1-泛性张量的最大对称维数为 $\binom{m+1}{2}$，且仅由大号 Coppersmith-Winograd 张量实现。
• 当 $m$ 为偶数时，存在一种新张量，其对称群维数严格大于 $\binom{m+1}{2}$，表明奇数维的界限并非普遍适用。
• 对稳定子群维数至少为 $\binom{k}{2}$ 的非退化双线性形式的分类已完成，结果表明仅对称或反对称形式可达到此维数。
• 小号 Coppersmith-Winograd 张量的反对称伴张量 $T_{\text{skewcw},m-2}$ 的边界秩至多为 $\frac{3m}{2} - 1$（当 $m \leq 14$ 时），表明其在激光法中可能具有应用潜力。
• 所有 1-泛性最小边界秩张量均满足 $\dim G_T \leq \binom{m+1}{2}$，且等号成立当且仅当其为大号 Coppersmith-Winograd 张量。
• 任何 1-泛性最小边界秩张量均退化为 $T_{\text{CW},m-1}$，表明此类张量在激光法中面临与 Coppersmith-Winograd 张量相同的障碍。