[论文解读] Tentative d'épuisement de la cohomologie d'une variété de Shimura par restriction à ses sous-variétés

Nicolas Bergeron|ArXiv.org|Mar 24, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文通过限制映射到子簇研究了希米勒簇的上同调，利用表示理论和广义Littlewood-Richardson系数，证明了在强初等上同调类上，限制映射乘积的单射性准则。该研究恢复并扩展了Clozel与Venkataramana关于全纯上同调的结果，并将其应用于霍奇猜想及特定希米勒簇的上同调消失定理。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected semisimple group over ${\Bbb Q}$. Given a maximal compact subgroup $K\subset G({\Bbb R})$ such that $X=G({\Bbb R})/K$ is a Hermitian symmetric domain, and a convenient arithmetic subgroup $Γ\subset G({\Bbb Q})$, one constructs a (connected) Shimura variety $S=S(Γ)=Γ\backslash X$. If $H\subset G$ is a connected semisimple subgroup such that $H({\Bbb R})\cap K$ is maximal compact, then $Y=H({\Bbb R})/K$ is a Hermitian symmetric subdomain of $X$. For each $g\in G({\Bbb Q})$ one can construct a connected Shimura variety $S(H,g)=(H({\Bbb Q})\cap g^{-1}Γg)\backslash Y$ and a natural holomorphic map $j_g \colon S(H,g) o S$ induced by the map $H({\Bbb A}) o G({\Bbb A}), h\mapsto gh$. Let us assume that $G$ is anisotropic, which implies that $S$ and $S(H,g)$ are compact. Then, for each positive integer $k$, the map $j_g$ induces a restriction map $$R_g \colon H^{k}(S, {\Bbb C}) o H^{k}(S(H,g), {\Bbb C}).$$ In this paper we focus on classical Hermitian domains and give explicit criterions for the injectivity of the product of the maps $R_g$ (for $g$ running through $G({\Bbb Q})$) when restricted to the strongly primitive (in the sense of Vogan and Zuckerman) part of the cohomology. In the holomorphic case we recover previous results of Clozel and Venkataramana. We also derive applications of our results to the proofs of new cases of the Hodge conjecture and of new results on the vanishing of the cohomology of some particular Shimura variety.

研究动机与目标

• 通过研究其到子簇的限制，理解紧致希米勒簇上同调的结构。
• 确定从希米勒簇到其子簇的限制映射乘积在上同调的强初等部分上为单射的条件。
• 将上同调的Vogan-Zuckerman分解与希米勒簇上自然向量丛的陈类所定义的分解联系起来。
• 将这些结果应用于证明霍奇猜想的新情形，并建立特定希米勒簇的上同调消失定理。

提出的方法

• 使用Matsushima公式，将上同调问题约化为李代数上的表示理论计算。
• 应用Vogan-Zuckerman对离散系列表示的分类，将上同调分解为强初等分量。
• 定义广义Littlewood-Richardson系数，以分析限制下上同调表示的结构。
• 将对称空间X上的自然向量丛构造为全空间丛关于Γ作用的商，并利用其陈类定义上同调的几何分解。
• 使用限制映射的乘积j_g: S(H,g) → S，分析上同调类在全空间簇中的像。
• 借助Venkataramana的近期结果，证明限制映射乘积的单射性准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，从希米勒簇到其子簇的限制映射乘积在强初等上同调类上为单射？
• RQ2 上同调的Vogan-Zuckerman分解如何与希米勒簇上自然丛的陈类所定义的分解相关联？
• RQ3 限制映射是否能检测到上同调全纯部分中的所有强初等上同调类？
• RQ4 到子簇的限制映射在多大程度上穷尽了原始希米勒簇的上同调？
• RQ5 单射性准则对霍奇猜想及特定希米勒簇上同调消失的含义是什么？

主要发现

• 当限制到经典厄米特域时，限制映射乘积R_g: H^k(S, ℂ) → H^k(S(H,g), ℂ) 在上同调的强初等部分上为单射。
• 本文恢复并稍作更正了Parthasarathy关于全纯上同调按典范丛陈类分解结果。
• 对于上同调的全纯部分，到任何希米勒型子簇的限制映射恒为零，表明全纯上同调在通常意义上无法被子簇检测到。
• 希米勒簇的整个全纯上同调来源于两族杨图：一族由r（0 ≤ r ≤ p）索引，另一族由s（0 ≤ s ≤ p−1）索引，且在r = p−1与r = p−2处重叠。
• 希米勒簇的上同调完全由对应于这些杨图的两族表示描述，无额外分量。
• 结果表明霍奇猜想的新情形成立，并在非分歧情形下建立了某些算术子群的上同调消失。