[论文解读] Termination Analysis of Probabilistic Programs through Positivstellensatz's

Krishnendu Chatterjee, Hongfei Fu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2016

Formal Methods in Verification参考文献 34被引用 10

一句话总结

本文提出多项式排序上鞅（pRSMs）以分析具有多项式条件和赋值的非确定性概率程序的几乎必然终止与有限终止。通过利用Positivstellensatz定理——Putinar、Schmüdgen与Handelman的定理，该方法实现了基于平方和优化的高效、半完备pRSM合成，相较于先前的线性方法在复杂程序中表现更优，尤其在线性排序上鞅失效时。

ABSTRACT

We consider nondeterministic probabilistic programs with the most basic liveness property of termination. We present efficient methods for termination analysis of nondeterministic probabilistic programs with polynomial guards and assignments. Our approach is through synthesis of polynomial ranking supermartingales, that on one hand significantly generalizes linear ranking supermartingales and on the other hand is a counterpart of polynomial ranking-functions for proving termination of nonprobabilistic programs. The approach synthesizes polynomial ranking-supermartingales through Positivstellensatz's, yielding an efficient method which is not only sound, but also semi-complete over a large subclass of programs. We show experimental results to demonstrate that our approach can handle several classical programs with complex polynomial guards and assignments, and can synthesize efficient quadratic ranking-supermartingales when a linear one does not exist even for simple affine programs.

研究动机与目标

• 填补非线性排序上鞅在概率程序中算法合成方面的空白，特别是针对具有多项式条件和赋值的程序。
• 将线性排序上鞅（LRSM）扩展至多项式排序上鞅（pRSM），以处理线性方法失效的复杂概率程序。
• 提出一种可靠且半完备的方法，利用Positivstellensatz定理与平方和优化来合成pRSMs。
• 在经典概率程序上验证方法的有效性，包括具有非线性动力学与有界区域的程序，这些是先前方法无法处理的。
• 提供一个可扩展且高效的自动化概率程序终止性分析框架，适用于具有非确定性与多项式更新的程序。

提出的方法

• 引入多项式排序上鞅（pRSMs）作为线性排序上鞅的推广，其中排序函数为多项式而非线性函数。
• 将合成问题表述为平方和（SOS）优化问题，利用Putinar、Schmüdgen或Handelman的Positivstellensatz定理，以证明多项式在半代数集上的非负性。
• 将pRSM条件转化为多项式不等式与等式方程组，并编码为可由SOSTOOLS与CPLEX求解的半定规划（SDP）。
• 引入数值验证步骤：检查等式约束中的最大误差是否低于固定阈值（例如，ε = 1），以确保在有界区域内结果的正确性。
• 采用修改后的约束C2（η(ℓ, x) ≥ 1 而非 ≥ 0），以提升SOS编程中的数值稳定性并避免平凡解。
• 使用Sylvester准则作为矩阵半正定性检查的替代方法，尽管主要方法仍基于SOS的Positivstellensatz。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有多项式条件与赋值的非确定性概率程序系统性地合成多项式排序上鞅？
• RQ2 所提出的方法是否对一大类概率程序具有可靠性与半完备性，特别是当线性排序上鞅不存在时？
• RQ3 基于Positivstellensatz的推理（Putinar、Schmüdgen、Handelman）能否在实践中有效用于自动化合成pRSMs？
• RQ4 与现有线性方法相比，pRSM合成方法在具有非线性动力学的程序上的性能与可扩展性如何？
• RQ5 该方法是否能处理集中度界与有限终止性，而不仅限于几乎必然终止？

主要发现

• 所提方法成功合成了在传统线性排序上鞅无法存在的程序中的二次pRSMs，如Gambler’s Ruin与具有非线性边界的随机游走。
• 除Logistic Map外，所有测试示例中该方法均实现了终止性分析，而先前方法因无法捕捉所需的非线性衰减而失败。
• 实验结果表明，该方法具有高效的可扩展性：所有示例（包括Nested Loop与Gambler’s Ruin Variant）均在使用CPLEX与SOSTOOLS时于0.02秒内求解完成。
• 等式约束中的最大数值误差始终低于10⁻⁷，验证了SOS解在有界区域内的正确性。
• 如引理6所示，该方法在一大类程序上具有半完备性，即在特定条件下，若存在pRSM，则该方法可找到它。
• 对于Logistic Map示例，该方法退化为线性规划，而先前方法（如[15, 48]）需使用半定规划，展现出显著的性能优势。