[论文解读] Termination of lambda-calculus with the extra Call-By-Value rule known as assoc

Stéphane Lengrand|ArXiv.org|Jun 30, 2008

Mathematics, Computing, and Information Processing被引用 5

一句话总结

本文证明了在引入 assoc 规则（重写嵌套的 lambda 抽象应用）的调用-按值 lambda 演算中，强规范化性成立。通过引入标记重写式（marked redexes）和改进的约简系统，作者建立了 assoc 约简与 beta 约简之间的伴随关系（adjunction），即使在增加此规则的情况下也能确保终止性。

ABSTRACT

In this paper we prove that any lambda-term that is strongly normalising for beta-reduction is also strongly normalising for beta,assoc-reduction. assoc is a call-by-value rule that has been used in works by Moggi, Joachimsky, Espirito Santo and others. The result has often been justified with incomplete or incorrect proofs. Here we give one in full details.

研究动机与目标

• 建立扩展了 assoc 规则的 lambda-演算的强规范化性，该规则是一种调用-按值的约简规则。
• 解决 assoc 规则与 beta 约简之间缺乏伴随关系的问题，该问题阻碍了标准的终止性证明。
• 引入一种标记重写式系统，使得 assoc 能够与受限形式的 beta 约简实现伴随。
• 证明在标记重写式下限制 beta 约简不会损失一般性，从而支持终止性证明。
• 形式化一种上下文闭包与约简系统，以支持强模拟与终止性论证。

提出的方法

• 使用符号 $(\overline{\lambda}x.M)\ N$ 引入标记重写式，以建模调用-按值的求值行为。
• 定义一个改进的约简系统 $\beta 12$，统一处理标准重写式与标记重写式。
• 引入两种子约简：$\beta\kappa$（不丢弃标记参数的约简）与 $\beta\overline{\kappa}$（丢弃标记参数的约简）。
• 提出一种弱上下文闭包 $\rightharpoonup_i$，用于重写系统，以支持伴随关系论证。
• 使用 $\overline{\textsf{assoc}}\textsf{act}$ 规则在标记重写式下模拟 assoc 约简，保持结构不变。
• 通过在约简序列上进行归纳与情况分析，证明 $\overline{\textsf{assoc}}\textsf{act}$-约简可以相对于 $\hookrightarrow$-约简实现伴随。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不破坏强规范化性的前提下，将 assoc 规则加入 lambda-演算？
• RQ2 为何标准伴随技术在组合 assoc 与 beta 约简时会失效？
• RQ3 是否可以限制在标记重写式下的 beta 约简，而不会损失在证明终止性时的一般性？
• RQ4 如何利用标记重写式系统来模拟调用-按值行为，同时保持终止性？
• RQ5 能否使用 $\overline{\textsf{assoc}}\textsf{act}$ 规则以支持强规范化性的方式模拟 assoc 约简？

主要发现

• 在 lambda-演算中，$\textsf{assoc}$ 规则具有终止性，因为每次应用都会减少非嵌套 $\lambda$-对的数量。
• 只要使用标记重写式，$\stackrel{{\scriptstyle}}{{\longrightarrow}}_{\textsf{assoc}}\;$ 约简可以相对于受限的 $\beta$-约简 $\hookrightarrow$ 实现伴随。
• $\beta 12$ 约简系统通过遗忘映射 $\phi$ 强模拟标准 $\beta$-约简。
• $\overline{\textsf{assoc}}\textsf{act}$ 规则在标记重写式下保持约简的结构，从而支持归纳证明。
• $\hookrightarrow$-约简系统允许对 $\beta 12$-约简进行强模拟，确保在终止性论证中不损失一般性。
• 主要结果 $\textsf{SN}^{\beta} \subseteq \textsf{SN}^{\textsf{assoc}\beta}$ 通过证明 $\stackrel{{\scriptstyle}}{{\longrightarrow}}_{\textsf{assoc}}\;$ 可以相对于 $\hookrightarrow$ 实现伴随而得以建立，从而得出扩展系统具有强规范化性。