[论文解读] Termination of LCTRSs

Cynthia Kop|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2016

Semantic Web and Ontologies参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文将依赖对方法从标准项重写扩展到逻辑约束项重写系统（LCTRSs），实现了对任意理论下约束重写的终止性证明。研究表明，诸如约化对和依赖对处理器等核心技术可自然地推广至LCTRSs，通过SMT求解验证约束有效性，并在包括阿克曼函数和有界迭代在内的示例中展示了其有效性。

ABSTRACT

Logically Constrained Term Rewriting Systems (LCTRSs) provide a general framework for term rewriting with constraints. We discuss a simple dependency pair approach to prove termination of LCTRSs. We see that existing techniques transfer to the constrained setting in a natural way.

研究动机与目标

• 将依赖对框架扩展至结合项重写与任意逻辑约束的逻辑约束项重写系统（LCTRSs）
• 将核心终止技术（如约化对和依赖对处理器）从无约束项重写推广至约束环境
• 通过集成SMT求解器验证约束有效性，实现对指令式程序的自动化终止性分析
• 为未来扩展至内最终止性、非终止性分析，以及与归纳性与函数等价性工具的集成奠定基础

提出的方法

• 通过引入新的类型'dpsort'标记定义符号调用，为右部中每个定义子项生成依赖对，从而为LCTRSs引入依赖对
• 定义约化对$(\succsim, \succ)$，其中$\succsim$为相容关系，$\succ$为严格序关系，二者均扩展以处理约束和逻辑项
• 采用整数上的多项式解释来定向依赖对，当对所有变量赋值$\alpha$满足$\overline{\mu}_\alpha(s) > \max(0, \overline{\mu}_\alpha(t))$时，定义$s \succ t$
• 利用SMT求解器检查规则和依赖对中约束的有效性，从而实现终止性证明的实用自动化
• 采用链式方法和约束简化，以增强约束环境下依赖对处理器的强度
• 依赖于以下事实：若所有依赖对均与约化对兼容，且依赖图中无环，则原系统终止

实验结果

研究问题

• RQ1 依赖对方法能否自然地扩展至具有任意逻辑约束的LCTRSs？
• RQ2 约化对如何适应LCTRSs中的约束和逻辑项？
• RQ3 SMT求解器在多大程度上可用于自动化验证LCTRS终止性证明中的约束有效性？
• RQ4 现有终止技术（如可用规则和链式方法）能否适应约束环境？
• RQ5 约束处理对LCTRSs中终止性分析的表达能力和自动化程度有何影响？

主要发现

• 标准TRSs的依赖对框架可自然地推广至LCTRSs，保持链自由性和与约化对的兼容性等关键性质
• 多项式解释可在LCTRSs中有效定向依赖对，如在有界求和函数示例中，$\mu(\mathsf{sum}) = \lambda nm.m - n + 1$在$x \leq y$条件下确保定向成立
• 通过SMT求解验证约束有效性，使该方法在一般情况下虽不可判定但依然实用
• 该方法可处理复杂示例（如带溢出约束的阿克曼函数），表明其适用于指令式程序分析
• 依赖图与值准则本身不足以解决某些情况，但约化对可解决此类问题，如在求和示例中，其他方法均不适用
• 该框架具有可扩展性，为未来自动化工具的发展铺平道路，这些工具可通过将程序转换为LCTRSs来分析指令式程序的终止性