[论文解读] Ternary quasigroups in knot theory

Maciej Niebrzydowski|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 7

一句话总结

该论文引入三元拟群作为经典链和曲面链的代数不变量，利用其同调理论定义在 Reidemeister 变换下保持不变的胞腔不变量。通过为第一和第二 Reidemeister 变换构造退化子复形并定义归一化同调，作者通过胞射数构造了状态和不变量，将纽结不变量推广至曲面上的链及在 Yoshikawa 变换下不变的平面对链。

ABSTRACT

We show that some ternary quasigroups appear naturally as invariants of classical links and links on surfaces. We also note how to obtain from them invariants of Yoshikawa moves. In our previous paper, we defined homology theory for algebras satisfying two axioms derived from the third Reidemeister move. In this paper, we show a degenerate subcomplex suitable for ternary quasigroups satisfying these axioms, and corresponding to the first Reidemeister move. For such ternary quasigroups with an additional condition that the primary operation equals to the second division operation, we also define another subcomplex, corresponding to the second flat Reidemeister move. Based on the normalized homology, we define cocycle invariants.

研究动机与目标

• 将三元拟群确立为经典链与曲面链的不变量。
• 定义在 Reidemeister 变换下不变的三元拟群同调理论。
• 为第一和第二 Reidemeister 变换构造对应的退化子复形。
• 为平面对链与经典链定义归一化同调与胞射数不变量。
• 将这些不变量推广至曲面链图在 Yoshikawa 变换下的不变性。

提出的方法

• 使用具有运算 T、L、M、R 的三元拟群，为定向曲面上链图中交叉点周围的区域分配代数值。
• 通过为交叉点分配三元组 (a,b,c) 构造链复形，其微分定义为 ∂(a,b,c) = (b,c) - (a,abcT) - (abcT,c) + (a,b)。
• 通过形如 (a,b,abbR) 或 (bbaL,b,a) 的循环，为第一 Reidemeister 变换构造退化子复形。
• 引入归一化同调 H^NID(X) 与 H^NI(X)，以确保在平面对 Reidemeister 变换下不变。
• 通过状态和定义胞射数不变量：Φ(D) = Σ_C ∏_τ B(τ,C)，其中 B(τ,C) 为在每个交叉点处符号三元组颜色上的胞射数值。
• 利用取值于阿贝尔群 A 的 C1(X) 上的上同调，以确保在指定 Reidemeister 变换族下的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用三元拟群为紧致定向曲面上的链定义不变量？
• RQ2 何种同调条件可确保在第一和第二 Reidemeister 变换下的不变性？
• RQ3 与第一和第二 Reidemeister 变换对应的退化子复形如何促进同调不变性？
• RQ4 归一化同调在构造平面对 Reidemeister 变换下不变的不变量中起何作用？
• RQ5 如何利用三元拟群上同调定义胞射数不变量，并使其在 Yoshikawa 变换下保持不变？

主要发现

• 与 KTQ-着色的定向链图相关的链复形是 KTQ 同调中的一个循环，确保 ∂(c_D) = 0。
• 当使用 H^NID(X) 时，平面对链图的 IKTQ 同调类在所有平面对 Reidemeister 变换下保持不变；当使用 H^NI(X) 时，在第二和第三变換下保持不变。
• 对于经典链，当使用 H^N(X) 时，KTQ 同调类在所有 Reidemeister 变换下保持不变；由于符号相反的交叉点相互抵消，第二变換下也保持不变。
• 通过状态和定义的胞射数不变量，在所用上同调对应的 Reidemeister 或平面对 Reidemeister 变换族下保持不变。
• 在平面对链中使用 T = M 的三元拟群时，会产生额外对称性，包括 axcT 为对合，且 cabL = acbL，bcaR = bacR。
• 第三条平面对 Reidemeister 变换保持同调类不变，因其贡献差等于一个边界：∂2(a,b,c,d) = (b,c,d) - (a,abcT,(abcT)cdT) - (abcT,c,d) + (a,b,bcdT) + (ab(bcdT)T,bcdT,d) - (a,b,c)。