[论文解读] Ternary "Quaternions" and Ternary TU(3) algebra

Guennady Volkov|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文引入了一种使用两个虚数单位 $ q_1 $ 和 $ q_2 $ 的三元广义四元数，满足 $ q_1^3 = q_2^3 = 1 $，从而导出一个非交换的 $ TU(3) $ 代数和一个新的根系，其 Cartan 矩阵元素满足 $ B_{ii} = 3 $。该构造将二元 Clifford 代数推广为 $ \mathbb{Z}_3 $-分次的三元代数，对于 $ n=6 $ 得到一个 729 维的代数，并推广了 $ SU(2) $ 和 $ SL(3,\mathbb{C}) $ 对称性。

ABSTRACT

To construct ternary "quaternions" following Hamilton we must introduce two "imaginary "units, $q_1$ and $q_2$ with propeties $q_1^n=1$ and $q_2^m=1$. The general is enough difficult, and we consider the $m=n=3$. This case gives us the example of non-Abelian groupas was in Hamiltonian quaternion. The Hamiltonian quaternions help us to discover the $SU(2)=S^3$ group and also the group $L(2,C)$. In ternary case we found the generalization of U(3) which we called $TU(3)$ group and also we found the the SL(3,C) group. On the matrix language we are going from binary Pauly matrices to three dimensional nine matrices which are called by nonions. This way was initiated by algebraic classification of $CY_m$-spaces for all m=3,4,...where in reflexive Newton polyhedra we found the Berger graphs which gave in the corresponding Cartan matrices the longest simple roots $B_{ii}=3,4,..$ comparing with the case of binary algebras in which the Cartan diagonal element is equal 2, {\it i.e. } $A_{ii}=2$.

研究动机与目标

• 将哈密顿四元数推广为使用单位根的三元代数结构。
• 通过新的根系和 Cartan 矩阵中 $ B_{ii} = 3 $ 的特征，构造一个非交换的 $ TU(3) $ 代数，作为 $ U(3) $ 的推广。
• 将二元 Clifford 代数推广为 $ \mathbb{Z}_3 $-分次的三元代数 $ TCl(V) $，其基元素为 $ q_k^l $，$ l = 0,1,2 $，并计算其维数为 $ 3^n $。
• 探讨该结构的几何与代数意义，包括不变曲面和 $ N $-元对称性。
• 建立反射 Newton 多面体、 Berger 图与 Cartan 矩阵中 $ B_{ii} = 3 $ 的关联，与二元代数中 $ A_{ii} = 2 $ 的情况形成对比。

提出的方法

• 引入两个虚数单位 $ q_1, q_2 $，满足 $ q_1^3 = q_2^3 = 1 $，构建一个推广哈密顿四元数的三元代数框架。
• 定义一个 $ \mathbb{Z}_3 $-分次张量代数 $ T(V) $，根据 $ n \mod 3 $ 分解为 $ T(V)_0, T(V)_1, T(V)_2 $，并商掉一个理想 $ J $ 以形成 $ TCl(V) $。
• 通过 $ S_3^+ $ 置换的对称和来定义三元积，证明 $ \sum_{S_3^+} q_k q_l q_m = 6 \delta_{klm} $ 仅在 $ k=l=m $ 时成立。
• 通过一个根系构造 $ TU(3) $ 代数，其单根的 Cartan 矩阵对角元素为 $ B_{ii} = 3 $，与二元代数中 $ A_{ii} = 2 $ 的情况形成对比。
• 计算 $ TCl(V) $ 的维数为 $ 3^n $，并针对 $ n=4 $ 给出显式分解：$ \dim TCl_0 = 1+16+10 $，$ \dim TCl_1 = 4+19+4 $，$ \dim TCl_2 = 1+16+1 $。
• 通过 $ N $-元对易关系和 $ \mathbb{Z}_3 $-分次结构推导 $ C_N $-Clifford 代数，将二元 $ su(2) $ 子代数推广至三元情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用单位根将哈密顿四元数构造推广为非交换的三元代数？
• RQ2 新 $ TU(3) $ 代数的根系和 Cartan 矩阵结构为何？与经典李代数有何不同？
• RQ3 对于给定的 $ n $，$ \mathbb{Z}_3 $-分次三元 Clifford 代数 $ TCl(V) $ 的维数和分次分解为何？
• RQ4 三元积的对称和行为如何？在何种情况下为零或非零？
• RQ5 与二元代数中 $ A_{ii} = 2 $ 相比，Cartan 矩阵中 $ B_{ii} = 3 $ 的几何与代数意义为何？

主要发现

• 三元 $ TU(3) $ 代数通过根系构造，其 Cartan 矩阵对角元素为 $ B_{ii} = 3 $，推广了二元代数中 $ A_{ii} = 2 $ 的情形。
• $ \mathbb{Z}_3 $-分次三元 Clifford 代数 $ TCl(V) $ 的维数为 $ 3^n $，对 $ n=4 $ 的显式分解显示 $ \dim TCl_0 = 27 $，$ \dim TCl_1 = 27 $，$ \dim TCl_2 = 27 $，总和为 81。
• 对于 $ n=6 $，$ TCl(V) $ 的总维数为 $ 3^6 = 729 $，其中 $ TCl_0 $、$ TCl_1 $ 和 $ TCl_2 $ 各贡献 243 个分量。
• 对称和 $ \sum_{S_3^+} q_k q_l q_m $ 仅在 $ k=l=m $ 时非零，此时等于 $ 6 \delta_{klm} $，表明三元积仅在索引相同时才具有非平凡值。
• $ C_N $-Clifford 代数通过 $ N $-元对易关系和 $ \mathbb{Z}_3 $-分次结构定义，将二元 $ su(2) $ 子代数推广至三元情形。
• 该构造将反射 Newton 多面体与 Berger 图联系到 $ B_{ii} = 3 $ 的出现，暗示该代数结构具有更深层的几何起源。