[论文解读] Test vectors for Waldspurger's period integral and application to the mass equidistribution on nonsplit torus

Yueke Hu|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文在非分裂二次扩张上，当表示的深度远大于字符深度时，为Waldspurger的周期积分提供了显式的局部测试向量，即使存在联合奇异性也成立。它证明了这些测试向量的局部积分达到凸性界限的倒数，从而为在深度方面证明非分裂环面上的尖新形式的测度均衡性提供了依据。

ABSTRACT

In this paper we provide local test vector for Waldspurger's period integral, when the level of the representation $π_v$ is sufficiently large compared to the level of the character $Ω_v$ over quadratic extension, while allowing joint ramifications. The test vectors we shall use are variants of classical newforms, and the size of the resulting local integral is asymptotically the inverse of convexity bound for $L(Π\otimesΩ,1/2)$. Such test vectors are used to recover Gross-Prasad type test vectors. We also get vanishing result for local integral when using other test vectors. This phenomenon is used to prove the mass equidistribution of cuspidal newforms on nonsplit torus in depth aspect.

研究动机与目标

• 在非分裂二次扩张上，当表示的深度远大于字符深度时，构造Waldspurger周期积分的显式局部测试向量。
• 评估这些测试向量的局部周期积分大小，证明其与扭L函数的凸性界限倒数一致。
• 建立非最优测试向量的消失结果，缩小搜索空间，并在ε因子检验失败时揭示障碍。
• 将局部结果应用于证明在深度方面非分裂环面上尖新形式的全局测度均衡性。

提出的方法

• 使用经典新形式及其扭形式作为测试向量，这些形式源自紧致诱导理论和二次扩张上的特征理论。
• 通过高斯和应用ε因子公式，分析当p ≠ 2时，对极小表示的特殊值。
• 通过对字符Ω进行加权平均，构造在E*作用下以Ω⁻¹为特征值的测试向量。
• 结合局部非消失性与衰减结果，以及全局谱分解，证明周期积分的幂次节省界限。
• 利用L(Π⊗Ω,1/2)的凸性界限及消失结果（命题3.1），控制高深度表示的贡献。
• 运用矩阵系数与新形式的理论，分析在标准系列与极小表示上的周期积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非分裂二次扩张上，当表示的深度远大于字符深度时，Waldspurger周期积分的局部测试向量是什么？
• RQ2 这些测试向量的局部周期积分大小如何变化？是否达到L(Π⊗Ω,1/2)的凸性界限倒数？
• RQ3 在何种条件下，局部积分对非最优测试向量消失？这对非平凡Hom空间的存在性意味着什么？
• RQ4 是否可利用局部结果证明全局周期积分的幂次节省界限，从而实现非分裂环面上的测度均衡性？

主要发现

• 从新形式池中选取合适测试向量时，其局部周期积分以q⁻ᶜ⁽πᵥ⁾/²的速率衰减，与L(Π⊗Ω,1/2)的凸性界限倒数一致。
• 当测试向量不在最优族中时，局部积分消失，表明在ε因子检验失败时存在障碍。
• 当c(π_v)为偶数且c(π_v) > 2c(Ω_v)时，即使在惰性情形下，Hom_E* (π_v ⊗ Ω_v, C)中也存在非平凡测试向量。
• 可构造在深度≈c(π_v)/2的主同余子群下不变的测试向量，并在E*作用下以Ω_v⁻¹为特征值变换。
• 对于标准系列表示，通过选择适当的参数，可对任意c(π)和c(Ω)构造测试向量，且局部积分大小取决于c(Ω)。
• 随着深度c → ∞，与尖新形式相关的全局质量测度在非分裂环面上趋于均衡，该结论通过深度方面的幂次节省界限得到证明。