[论文解读] Testing Conditional Independence via Quantile Regression Based Partial Copulas

Lasse Petersen, Niels Richard Hansen|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2020

Statistical Methods and Inference参考文献 26被引用 15

一句话总结

本文提出了一种基于分位数回归的偏copula的非参数条件独立性检验方法，将条件独立性转化为对非参数残差的独立性检验。该方法在条件异方差条件下具有渐近有效性与优越功效，且在分位数回归估计器满足弱正则性条件时，理论保证了大小与功效。

ABSTRACT

The partial copula provides a method for describing the dependence between two random variables $X$ and $Y$ conditional on a third random vector $Z$ in terms of nonparametric residuals $U_1$ and $U_2$. This paper develops a nonparametric test for conditional independence by combining the partial copula with a quantile regression based method for estimating the nonparametric residuals. We consider a test statistic based on generalized correlation between $U_1$ and $U_2$ and derive its large sample properties under consistency assumptions on the quantile regression procedure. We demonstrate through a simulation study that the resulting test is sound under complicated data generating distributions. Moreover, in the examples considered the test is competitive to other state-of-the-art conditional independence tests in terms of level and power, and it has superior power in cases with conditional variance heterogeneity of $X$ and $Y$ given $Z$.

研究动机与目标

• 在弱分布假设下，发展一种有效的非参数条件独立性检验 $X \perp\!\!\! \perp Y \mid Z$。
• 通过限制在分布族 $\mathcal{P}_0 \subset \mathcal{P}$ 的子集上，解决条件独立性在一般绝对连续性下不可检验的理论难题。
• 利用偏copula框架，将条件独立性问题转化为变换后残差的边际独立性问题。
• 确保检验在广泛替代假设下保持正确的渐近显著性水平与非平凡功效，尤其在条件异方差情形下。
• 基于估计残差的广义相关系数，建立检验统计量的大样本性质。

提出的方法

• 在分位数水平 $\tau_k \in [\tau_{\min}, \tau_{\max}]$ 的网格上，使用分位数回归估计条件分布函数 $F_{X|Z}$ 和 $F_{Y|Z}$。
• 通过在每个 $z$ 处对分位数回归输出进行线性插值，构造经验累积分布函数估计器 $\hat{F}^{(m,n)}$。
• 将数据转换为偏copula残差 $\hat{U}_{1,i} = \hat{F}^{(n)}_{X|Z}(X_i|Z_i)$ 和 $\hat{U}_{2,i} = \hat{F}^{(n)}_{Y|Z}(Y_i|Z_i)$。
• 对满足正则性条件的向量值函数 $\varphi$，计算广义相关系数检验统计量 $\hat{\rho}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \varphi(\hat{U}_{1,i}) \varphi(\hat{U}_{2,i})^T$。
• 利用 $\sqrt{n} \hat{\rho}_n$ 在原假设下的渐近正态性，以及检验 $T_n$ 的卡方极限分布，构造一个渐近显著性水平为 $\alpha$ 的有效检验。
• 建立基于分位数回归的估计器 $\hat{F}^{(m,n)}$ 在 $\mathcal{P}_0$ 上的一致性，确保残差变换保持渐近性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种非参数条件独立性检验，使其在条件分布估计器满足弱正则性条件时，仍保持正确的渐近显著性水平？
• RQ2 在给定 $Z$ 时，$X$ 与 $Y$ 存在条件异方差的情形下，所提方法是否相比现有方法具有更高功效？
• RQ3 偏copula框架能否与分位数回归有效结合，从而得到一致且渐近有效的检验？
• RQ4 基于估计残差的广义相关系数检验统计量的大样本性质是什么？
• RQ5 在何种条件下，该检验能在非平凡分布族 $\mathcal{P}_0$ 上保持一致的渐近显著性水平与功效？

主要发现

• 所提检验在原假设 $X \perp\!\!\! \perp Y \mid Z$ 下，对类 $\mathcal{P}_0$ 实现渐近显著性水平 $\alpha$，且检验统计量的分布一致收敛。
• 在模拟研究中，当给定 $Z$ 时 $X$ 与 $Y$ 存在条件异方差的情形下，该检验相比现有最先进方法展现出更优功效。
• 在分位数回归过程的一致性假设下，基于分位数回归的估计器 $\hat{F}^{(m,n)}$ 满足 $\|F - \hat{F}^{(m,n)}\|_{\mathcal{T},\infty} = \mathcal{O}_P(g_P(n))$。
• 在原假设下，广义相关系数检验统计量 $\sqrt{n} \hat{\rho}_n$ 依分布收敛于正态分布 $\mathcal{N}(0, \Sigma \otimes \Sigma)$。
• 在满足 $|\rho_{k\ell}| > \lambda > 0$ 的替代假设下，检验统计量 $nT_n$ 以概率趋于无穷，确保渐近功效为 1。
• 即使在底层条件分布复杂的情形下，该检验仍保持正确的显著性水平与非平凡功效，模拟结果验证了其在复杂数据生成机制下的稳健性。