[论文解读] Testing Consumer Rationality using Perfect Graphs and Oriented Discs

Shant Boodaghians, Adrian Vetta|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文通过测量使消费者选择变得理性的最少数据点数量，确立了测试消费者理性行为的计算复杂度。研究证明，在两商品市场中，该问题可通过完美图与完美图上的顶点覆盖在多项式时间内求解；而在三商品市场中，通过平面3-SAT的约化，使用定向圆盘图构造，该问题变为NP-完全。

ABSTRACT

Given a consumer data-set, the axioms of revealed preference proffer a binary test for rational behaviour. A natural (non-binary) measure of the degree of rationality exhibited by the consumer is the minimum number of data points whose removal induces a rationalisable data-set.We study the computational complexity of the resultant consumer rationality problem in this paper. This problem is, in the worst case, equivalent (in terms of approximation) to the directed feedback vertex set problem. Our main result is to obtain an exact threshold on the number of commodities that separates easy cases and hard cases. Specifically, for two-commodity markets the consumer rationality problem is polynomial time solvable; we prove this via a reduction to the vertex cover problem on perfect graphs. For three-commodity markets, however, the problem is NP-complete; we prove thisusing a reduction from planar 3-SAT that is based upon oriented-disc drawings.

研究动机与目标

• 基于需删除的最少数据点数量，开发一种非二元的消费者理性度量方法，以使消费者行为可被合理化。
• 确定该理性测试问题在不同商品数量下的计算复杂度。
• 识别问题从可解到不可解的精确临界点。
• 建立显示偏好理论与图论问题（如反馈顶点集与顶点覆盖）之间的联系。
• 提出一种基于定向圆盘图的新约化框架，用于证明三商品市场中该问题的NP-完全性。

提出的方法

• 将消费者数据表示为有向显示偏好图，其中弧表示基于预算约束的显示偏好。
• 将消费者理性问题约化为在显示偏好图中寻找最小有向反馈顶点集（DFVS）。
• 对于两商品市场，将问题映射为完美图上的顶点覆盖，利用完美图上顶点覆盖可多项式时间求解的性质。
• 对于三商品市场，构建一个平面3-SAT实例的定向圆盘图，将问题嵌入具有二边形环和无环辅助弧的有向图中。
• 利用定向圆盘图中所有环必须对应于二边形环的性质，因此通过反馈顶点集击中所有二边形环，等价于在底层平面图中寻找顶点覆盖。
• 采用基于组件的构造方法处理变量与子句，将3-SAT实例嵌入一个有向图中，其环结构与平面二分图中的边覆盖相关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 当通过删除最少数量的数据点使消费者行为可合理化时，消费者理性问题的计算复杂度是什么？
• RQ2 消费者理性问题在商品数量达到多少时，从多项式时间可解转变为NP-完全？
• RQ3 是否可以利用显示偏好图的环结构来建模并约化为已知的NP-难问题，如顶点覆盖或反馈顶点集？
• RQ4 是否能够通过定向圆盘图将平面3-SAT实例表示为有向图，使得环检测对应于可满足性？
• RQ5 是否可以利用完美图理论，在低维市场（如两商品）中高效求解理性问题？

主要发现

• 在两商品市场中，消费者理性问题可在多项式时间内求解，因为其可约化为完美图上的顶点覆盖。
• 在三商品市场中，该问题为NP-完全，通过平面3-SAT的约化及定向圆盘图构造得以证明。
• 该约化构造出一个定向圆盘图，其中所有环均由二边形环构成，击中所有环等价于在底层平面图中寻找顶点覆盖。
• 定向圆盘图中的最小反馈顶点集等价于平面3-SAT实例相关图中的顶点覆盖。
• 该构造确保辅助弧（非二边形环部分）构成一个无环子图，因此仅需击中二边形环即可消除所有环。
• 可解与不可解情况之间的临界点恰好为两个商品：两商品时为多项式时间可解，三商品时为NP-完全。