[论文解读] Testing for change-points in long-range dependent time series by means of a self-normalized Wilcoxon test

Annika Betken|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2014

Statistical Methods and Inference参考文献 10被引用 1

一句话总结

本文提出了一种自归一化的威尔科xon检验，用于检测长程依赖时间序列均值的变点。通过用基于观测值经验分布的数据驱动尺度估计替代未知的归一化因子，该检验在原假设下（收敛到非退化极限）和局部备择假设下（发散至无穷大）均实现了渐近有效性，确保了即使在中等样本量下也具有良好的一致性与精确的大小控制。

ABSTRACT

We propose a testing procedure based on the Wilcoxon two-sample test statistic in order to test for change-points in the mean of long-range dependent data. We show that the corresponding self-normalized test statistic converges in distribution to a non-degenerate limit under the hypothesis that no change occurred and that it diverges to infinity under the alternative of a change-point with constant height. Furthermore, we derive the asymptotic distribution of the self-normalized Wilcoxon test statistic under local alternatives, that is under the assumption that the height of the level shift decreases as the sample size increases. Regarding the finite sample performance, simulation results confirm that the self-normalized Wilcoxon test yields a consistent discrimination between hypothesis and alternative and that its empirical size is already close to the significance level for moderate sample sizes.

研究动机与目标

• 解决长程依赖数据非参数变点检验中未知归一化因子的挑战。
• 提出威尔科xon两样本检验的自归一化版本，避免对未知缩放常数的依赖。
• 在原假设和局部备择假设下，建立自归一化威尔科xon检验的渐近理论。
• 确保检验在有限样本下，尤其是在长程依赖条件下，保持正确的经验大小和高功效。
• 提供一种稳健、分布自由的方法，用于检测具有长记忆依赖性的时间序列中的水平漂移。

提出的方法

• 通过用基于观测值经验分布的数据驱动尺度估计替代未知的归一化因子 $ d_n $，提出一种自归一化的检验统计量。
• 通过考虑 $ \max_{1 \leq k \leq n-1} |W_{k,n}| $ 将威尔科xon两样本秩检验适应到变点设置，其中 $ W_{k,n} $ 表示前 $ k $ 个与后 $ n-k $ 个观测值之间的威尔科xon秩和。
• 利用指示函数 $ 1\{G(\xi_i) \leq x\} $ 的埃爾米特展开，刻画在长程依赖下检验统计量的渐近行为。
• 应用连续映射定理，推导在原假设和局部备择假设下自归一化检验统计量的弱收敛性。
• 采用弱收敛论证和涉及阶数为 $ m $ 的埃尔米特过程的功能中心极限定理，其自相似参数为 $ H = 1 - mD/2 $。
• 通过证明在局部备择假设下分子发散至无穷大而分母依概率收敛于零，从而证明检验统计量发散，建立检验的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当归一化常数未知时，威尔科xon检验的自归一化版本是否能在长程依赖下保持渐近有效性？
• RQ2 在长程依赖条件下，自归一化威尔科xon检验是否在有限样本下实现正确的经验大小和非平凡功效？
• RQ3 在水平漂移逐渐缩小的局部备择假设下，自归一化威尔科xon检验的渐近分布如何表现？
• RQ4 在无变点的原假设下，自归一化检验统计量的极限行为是什么？
• RQ5 自归一化方法是否能消除对长程依赖参数 $ D $ 和埃尔米特阶数 $ m $ 的先验知识需求？

主要发现

• 在无变点的原假设下，自归一化威尔科xon检验统计量依分布收敛到一个非退化极限，其依赖于阶数 $ m $ 的埃尔米特过程及误差过程的分布。
• 在水平漂移 $ h_n \sim c d_n / n $ 的局部备择假设下，检验统计量以概率发散至无穷大，证明了检验的一致性。
• 即使在中等样本量下，自归一化威尔科xon检验的经验大小也已接近名义显著性水平，表明其在有限样本下表现良好。
• 在局部备择假设下，渐近分布收敛到一个非退化极限，该极限涉及一个埃尔米特过程和一个与水平漂移高度及误差分布密度成比例的漂移项。
• 在备择假设下，自归一化统计量的分母依概率收敛于零，而分子收敛到一个非零常数，从而确保检验统计量发散。
• 该检验对未知的长程依赖参数具有鲁棒性，且无需事先知道埃尔米特阶数 $ m $，因为自归一化能自适应地匹配数据驱动的尺度。