[论文解读] TESTING FOR RESIDUAL CORRELATION OF ANY ORDER IN THE AUTOREGRESSIVE PROCESS

Frédéric Proïa|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2013

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 40被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新型统计检验方法，用于检测自回归模型中任意阶数的残差自相关性，解决了当驱动噪声存在自相关时最小二乘估计量不一致的问题。该研究建立了主自回归估计量以及噪声序列相关性新估计量的几乎必然收敛性和渐近正态性，其性能优于Ljung-Box、Box-Pierce和Breusch-Godfrey检验，尤其在小样本情形下表现更优。

ABSTRACT

We are interested in the implications of a linearly autocorrelated driven noise on the asymptotic behavior of the usual least squares estimator in a stable autoregressive process. We show that the least squares estimator is not consistent and we suggest a sharp analysis of its almost sure limiting value as well as its asymptotic normality. We also establish the almost sure convergence and the asymptotic normality of the estimated serial correlation parameter of the driven noise. Then, we derive a statistical procedure enabling to test for correlation of any order in the residuals of an autoregressive modelling, giving clearly better results than the commonly used portmanteau tests of Ljung-Box and Box-Pierce, and appearing to outperform the Breusch-Godfrey procedure on small-sized samples.

研究动机与目标

• 分析当驱动噪声本身具有自相关性时，稳定自回归过程中最小二乘估计量的渐近行为。
• 在一般自回归噪声结构下，建立最小二乘估计量的几乎必然收敛性和渐近正态性。
• 提出一种针对驱动噪声序列相关性参数的新估计量，并推导其渐近性质。
• 开发一种针对任意阶残差自相关的统计检验方法，其性能优于现有方法，尤其在小样本中表现更优。
• 基于鞅方法提供严谨的理论基础，并扩展自回归模型中偏差与收敛性方面的既有研究结果。

提出的方法

• 将观测过程建模为一个 $p$ 阶稳定自回归过程，其中驱动噪声服从 $q$ 阶因果自回归过程。
• 采用最小二乘估计框架，对主自回归参数 $\theta$ 和噪声相关性参数 $\rho$ 同时进行估计。
• 应用鞅方法推导估计量的几乎必然收敛性和渐近正态性，依赖于谱范数和二次变差分析。
• 基于向量鞅的中心极限定理，推导基于残差自相关性的检验统计量的渐近分布。
• 构建一种受Durbin-Watson方法启发的检验统计量，但针对任意阶残差自相关性进行了适配。
• 利用Slutsky引理和Lindeberg条件，推导在无残差自相关原假设下的检验统计量极限分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 当自回归模型中的驱动噪声本身具有自相关性时，最小二乘估计量的渐近行为如何？
• RQ2 自相关噪声的存在如何影响自回归模型中最小二乘估计量的一致性与极限分布？
• RQ3 在一般条件下，能否使噪声序列相关性参数的新估计量具有一致性和渐近正态性？
• RQ4 所提出的残差自相关检验在功效上与Ljung-Box、Box-Pierce和Breusch-Godfrey方法相比如何，特别是在小样本中？
• RQ5 在无残差自相关原假设下，所提出检验统计量的渐近分布是什么？

主要发现

• 当驱动噪声具有自相关性时，主自回归参数 $\theta$ 的最小二乘估计量不再一致，但会以几乎必然收敛于一个非退化的极限。
• $\theta$ 的最小二乘估计量的渐近分布为正态分布，其协方差矩阵由设计矩阵的谱范数和特征值明确定义。
• 所提出的噪声序列相关性参数估计量 $\widehat{\rho}_n$ 在无残差自相关原假设下具有一致性且渐近正态。
• 基于 $\widehat{\rho}_n$ 的检验统计量渐近服从正态分布，且在小样本中优于Ljung-Box、Box-Pierce和Breusch-Godfrey方法。
• 检验统计量的极限分布为 $\mathcal{N}(0, \Gamma_Z)$，其中 $\Gamma_Z = \sigma^4 I_q - \sigma^2 \Upsilon_{pq} \Delta_p^{-1} \Upsilon_{pq}^\prime$，确保了有效的统计推断。
• 模拟结果表明，所提出的检验在经验功效上高于现有替代方法，尤其在小样本中表现更优。