[论文解读] Testing for the Equality of two Distributions on High Dimensional Object Spaces

Ruite Guo, Vic Patrangenaru|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2017

Morphological variations and asymmetry参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于VW嵌入的外在能量距离检验方法，用于比较高维对象分布（如Kendall形状空间中的形状），通过将对象嵌入欧几里得空间来实现。该方法应用能量统计量检验两组分布的同质性，结果表明：尽管CC中段截面形状的VW均值存在显著差异，但其底层分布并无统计学上的显著区别，凸显了高维性对统计推断的影响。

ABSTRACT

Energy statistics are estimators of the energy distance that depend on the distances between observations. The idea behind energy statistics is to consider a statistical potential energy that would parallel Newton's gravitational potential energy. This statistical potential energy is zero if and only if a certain null hypothesis relating two distributions holds true. In Szekely and Rizzo(2004), a nonparametric test for equality of two multivariate distributions was given, based on the Euclidean distance between observations. This test was shown to be effective for high dimensional multivariate data, and was implemented by an appropriate distribution free permutation test. As an extension of Szekely and Rizzo (2013), here we consider the energy distance between to independent random objects X and Y on the object space M, that admits an embedding into an Euclidean space. In the case of a Kendall shape space, we can use its VW-embedding into an Euclidean space of matrices and define the extrinsic distance between two shapes as their VW associated distance. The corresponding energy distance between two distributions of Kendall shapes of k-ads will be called VW-energy distance We test our methodology on, to compare the distributions of Kendall shape of the contour of the midsagittal section of the Corpus Callossum in normal vs ADHD diagnosed individuals. Here we use the VW distance between the shapes of two children CC midsections. Using the CC data coming originally from http://fcon 1000.projects.nitrc.org/indi/adhd200/ it appears that the two Kendall shape distributions are not significantly different.

研究动机与目标

• 开发一种用于高维对象空间（如形状流形）上两个概率分布同质性的非参数检验方法。
• 解决在高维非欧几里得对象空间（如Kendall形状空间）中检验分布相等性的挑战。
• 研究高维性对形状分析中统计推断的影响，特别是在医学影像应用中的表现。
• 使用模拟数据（Kendall k-ad 形状）和真实世界医学影像数据（胼胝体中段）验证所提出的方法。

提出的方法

• 通过将对象空间嵌入希尔伯特空间中的复矩阵空间（VW嵌入），将原本仅定义于欧几里得空间的能量统计量扩展至对象空间。
• 将外在能量距离定义为两个样本中观测值之间成对距离的函数，使用嵌入空间中的欧几里得范数。
• 采用 t-能量统计量 $ T_{n_1,n_2} = \frac{n_1n_2}{n} \tilde{\rho}_{n_1,n_2} $，其中 $ \tilde{\rho}_{n_1,n_2} $ 为样本能量统计量，用于检验 $ H_0: Q_1 = Q_2 $ 与 $ H_1: Q_1 \neq Q_2 $。
• 采用基于置换的显著性检验确定临界值，确保在原假设下有效控制第一类错误。
• 在高维约束下无法获得渐近零分布时，使用自助法重采样估计检验统计量的临界值。
• 在模拟的 k-ad 形状数据和 ADHD-200 数据集中获取的真实 CC 中段数据上验证该方法，每个轮廓使用 50 个伪标志点。

实验结果

研究问题

• RQ1 能量统计量能否被扩展用于检验高维对象空间（如形状流形）上分布相等性？
• RQ2 高维性如何影响对形状分布差异的检测，特别是在均值存在显著差异的情况下？
• RQ3 临床上正常与ADHD诊断个体之间，胼胝体中段形状分布是否存在统计学上的显著差异？
• RQ4 ADHD诊断中的假阳性结果在多大程度上影响基于形状分析的分布检验效能？

主要发现

• CC中段截面数据的VW-t-能量检验统计量为 $ T_{j,n_1,n_2} = 0.0948 $，自助法临界值为 $ c^*_{0.05} = 0.1075 $ 和 $ c^*_{0.1} = 0.0958 $，表明在 5% 显著性水平下无显著差异。
• 尽管VW均值形状差异极为显著（p值 ~$10^{-11}$），但在所提检验下，CC中段截面形状的完整分布并无统计学上的显著差异。
• 尽管均值存在显著差异，但分布无显著差异的现象，可归因于Bai与Saranadasa（1996）所描述的高维性效应：即高维性使均值检验的检验量增大，但对完整分布相等性的检验量无此影响。
• 结果表明，观察到的均值差异可能由高维噪声驱动，而非真实的生物学差异，这引发了对ADHD误诊的担忧。
• 模拟研究证实了该方法在检测 k-ad 形状数据中分布差异方面的有效性，展示了在已知备择假设下的检验一致性与检验效能。
• 该方法成功区分了分布相等性与均值相等性，为高维形状分析提供了更精细的推断工具。