[论文解读] Testing for white noise under unknown dependence and its applications to goodness-of-fit for time series models

Xiaofeng Shao|ArXiv.org|Jun 29, 2009

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 46被引用 7

一句话总结

本文在未知弱依赖条件下建立了Box-Pierce谱检验统计量的渐近零分布，表明当滞后截断数随样本量适当增长时，该检验仍保持有效性。该结果为ARMA和FARIMA模型在依赖性、非高斯或条件异方差误差下的稳健诊断检验提供了支持。

ABSTRACT

Testing for white noise has been well studied in the literature of econometrics and statistics. For most of the proposed test statistics, such as the well-known Box-Pierce's test statistic with fixed lag truncation number, the asymptotic null distributions are obtained under independent and identically distributed assumptions and may not be valid for the dependent white noise. Due to recent popularity of conditional heteroscedastic models (e.g., GARCH models), which imply nonlinear dependence with zero autocorrelation, there is a need to understand the asymptotic properties of the existing test statistics under unknown dependence. In this paper, we showed that the asymptotic null distribution of Box-Pierce's test statistic with general weights still holds under unknown weak dependence so long as the lag truncation number grows at an appropriate rate with increasing sample size. Further applications to diagnostic checking of the ARMA and FARIMA models with dependent white noise errors are also addressed. Our results go beyond earlier ones by allowing non-Gaussian and conditional heteroscedastic errors in the ARMA and FARIMA models and provide theoretical support for some empirical findings reported in the literature.

研究动机与目标

• 解决残差表现出未知弱依赖性时，标准白噪声检验缺乏理论有效性的不足。
• 将Box-Pierce检验的渐近零分布结果从i.i.d.假设推广至弱依赖过程。
• 为ARMA和FARIMA模型在非高斯及条件异方差创新误差下的诊断检验提供理论依据。
• 证明谱检验在一般弱依赖条件下仍保持渐近有效性，即使误差过程是不相关但依赖的。

提出的方法

• 在一般弱依赖条件下，利用混合条件和矩限制推导Box-Pierce检验统计量的渐近分布。
• 应用Hong（1996）谱密度检验的一般化形式，结合核加权自相关函数。
• 采用鞅差分与累积量展开方法，控制弱依赖下的高阶矩。
• 采用统一混合鞅表示和矩界，处理ARMA/FARIMA模型中的参数估计不确定性。
• 在原假设下建立检验统计量的渐近正态性，其方差由带宽相关项校正。
• 采用一致可积性论证及得分函数的矩界，确保依概率收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 当时间序列不相关但存在弱依赖时，Box-Pierce检验统计量的渐近零分布是否仍然有效？
• RQ2 谱检验能否可靠地应用于具有非高斯或条件异方差误差的ARMA和FARIMA模型？
• RQ3 滞后截断数以何种增长速率可确保在未知依赖条件下检验的渐近有效性？
• RQ4 高阶累积量与弱依赖如何影响检验统计量的极限分布？
• RQ5 当残差存在依赖但不相关时，标准卡方近似是否仍适用于诊断检验？

主要发现

• 当滞后截断数随样本量以适当速率增长时，一般权重下的Box-Pierce检验统计量的渐近零分布，在未知弱依赖条件下依然有效。
• 即使误差为非高斯或条件异方差，经过适当标准化后，检验统计量 $ nQ_n $ 仍依分布收敛于正态分布。
• 检验统计量的极限分布对未知弱依赖具有鲁棒性，扩展了以往要求i.i.d.或高斯误差的研究结果。
• 检验统计量的渐近方差由带宽相关项 $ D_n(K) $ 校正，该参数考虑了依赖结构的影响。
• 研究结果为实证发现提供了理论支持：即使残差存在依赖，谱检验在实践中仍表现良好。
• 该方法适用于ARMA和FARIMA模型，可在一般误差过程中实现稳健的诊断检验。