[论文解读] Testing in the Presence of Nuisance Parameters: Some Comments on Tests Post-Model-Selection and Random Critical Values

Hannes Leeb, Benedikt M. Pötscher|Munich Personal RePEc Archive (Ludwig Maximilian University of Munich)|Sep 20, 2012

Statistical Methods and Inference被引用 4

一句话总结

本文批判了在存在干扰参数时使用随机临界值进行假设检验的做法，表明此类检验即使在渐近情况下也常常超出其名义显著性水平。文章指出，尽管使用估计的干扰参数作为随机临界值的程序看似直观，但无法保持正确的检验尺寸，因此主张采用保守的、基于上确界的临界值，以确保推断的有效性。

ABSTRACT

We point out that the ideas underlying some test procedures recently proposed for testing post-model-selection (and for some other test problems) in the econometrics literature have been around for quite some time in the statistics literature. We also sharpen some of these results in the statistics literature. Furthermore, we show that some intuitively appealing testing procedures, that have found their way into the econometrics literature, lead to tests that do not have desirable size properties, not even asymptotically.

研究动机与目标

• 识别并分析基于估计干扰参数导出的随机临界值的检验程序中的缺陷。
• 证明即使在渐近情况下，此类检验的尺寸也可能严格大于名义水平。
• 阐明近期计量经济学中关于模型选择后检验的提案所基于的思想并非新颖，而是此前已在统计文献中确立。
• 在存在干扰参数的情况下，特别是非正则估计设定下，提供更精确的尺寸控制理论结果。
• 对比随机临界值检验与保守的、基于上确界的替代方法在尺寸控制方面的表现。

提出的方法

• 采用一种框架，其中检验统计量的原假设分布依赖于未知的干扰参数 β，因此临界值必须反映这种依赖性。
• 提出使用基于上确界的临界值：$ c_{n,\text{sup}}(\delta) = \sup_{\beta \in B} c_{n,\beta}(\delta) $，以确保检验尺寸 ≤ δ。
• 分析基于估计量 $ \hat{\beta}_n $ 的随机临界值 $ c_{n,\hat{\beta}_n}(\delta) $ 的尺寸性质。
• 通过正式证明表明，若在最坏情况下的 β 下，$ c_{n,\hat{\beta}_n}(\delta) < c_{n,\text{sup}}(\delta) $ 的概率为正，则检验尺寸将超过 δ。
• 将结果应用于已知方差且参数相关的线性回归模型，利用渐近正态近似推导临界值的显式表达式。
• 考虑使用趋于零的数据依赖阈值 $ \eta_n \to 0 $ 的修正程序，表明尽管渐近尺寸控制可被逼近，但除非精心构造，有限样本中的尺寸膨胀仍将持续存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于估计干扰参数的随机临界值的检验程序在有限样本中是否能保持其名义显著性水平？
• RQ2 为何一些看似合理的使用估计干扰参数的检验无法控制尺寸，即使在渐近情况下也如此？
• RQ3 在存在干扰参数的情况下，使用基于上确界的临界值的理论依据是什么？
• RQ4 随机临界值检验的尺寸特性与保守的、固定临界值检验相比如何？
• RQ5 对随机临界值的数据依赖性调整能否在有限样本中恢复正确的尺寸控制？

主要发现

• 基于随机临界值 $ c_{n,\hat{\beta}_n}(\delta) $ 的检验不具有水平 δ，因为其尺寸可能严格大于 δ，即使在渐近情况下也是如此。
• 条件 (4) — 即 $ P_{n,\alpha_0,\beta_n^{\max}}(c_{n,\hat{\beta}_n}(\delta) < T_n(\alpha_0) \leq c_{n,\text{sup}}(\delta)) > 0 $ — 是尺寸膨胀的充分条件，且在常规条件下成立。
• 基于上确界的临界值 $ c_{n,\text{sup}}(\delta) $ 可确保有效的水平 δ 检验，但代价是因保守性导致统计功效下降。
• 即使 $ \eta_n \to 0 $，基于 $ \hat{c}_{n,\eta_n,\min}(\delta) $ 的检验在所有有限 n 下仍会超过名义显著性水平，尽管其渐近地趋近于保守检验。
• 基于 $ c_{n,\eta_n,\text{Loh}}(\delta) $ 的检验（使用数据依赖阈值）对每个 n 均能保持正确的尺寸，并且当 $ \eta_n \to 0 $ 时趋近于保守检验，因此优于其他替代方案。
• 随机临界值可能导致无效检验的结论此前已在统计文献中确立（例如，Loh, 1985），本文在模型选择后推断的语境下进一步深化了这些发现。