[论文解读] Testing Intersecting and Union-Closed Families

Xi Chen, Anindya De+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2023

Machine Learning and Algorithms被引用 1

一句话总结

本文研究了布尔函数中两种基本组合性质——相交性与并封闭性——的查询复杂度。它为这两种性质建立了强有力的非自适应查询下界，表明其测试难度显著高于单调性，并通过一种新颖的基于采样的测试器，提供了近乎紧致的上界，该测试器聚焦于接近中位数权重的集合。

ABSTRACT

Inspired by the classic problem of Boolean function monotonicity testing, we investigate the testability of other well-studied properties of combinatorial finite set systems, specifically \emph{intersecting} families and \emph{union-closed} families. A function $f: \{0,1\}^n o \{0,1\}$ is intersecting (respectively, union-closed) if its set of satisfying assignments corresponds to an intersecting family (respectively, a union-closed family) of subsets of $[n]$. Our main results are that -- in sharp contrast with the property of being a monotone set system -- the property of being an intersecting set system, and the property of being a union-closed set system, both turn out to be information-theoretically difficult to test. We show that: $\bullet$ For $ε\geq Ω(1/\sqrt{n})$, any non-adaptive two-sided $ε$-tester for intersectingness must make $2^{Ω(n^{1/4}/\sqrtε)}$ queries. We also give a $2^{Ω(\sqrt{n \log(1/ε)})}$-query lower bound for non-adaptive one-sided $ε$-testers for intersectingness. $\bullet$ For $ε\geq 1/2^{Ω(n^{0.49})}$, any non-adaptive two-sided $ε$-tester for union-closedness must make $n^{Ω(\log(1/ε))}$ queries. Thus, neither intersectingness nor union-closedness shares the $\mathrm{poly}(n,1/ε)$-query non-adaptive testability that is enjoyed by monotonicity. To complement our lower bounds, we also give a simple $\mathrm{poly}(n^{\sqrt{n\log(1/ε)}},1/ε)$-query, one-sided, non-adaptive algorithm for $ε$-testing each of these properties (intersectingness and union-closedness). We thus achieve nearly tight upper and lower bounds for two-sided testing of intersectingness when $ε= Θ(1/\sqrt{n})$, and for one-sided testing of intersectingness when $ε=Θ(1).$

研究动机与目标

• 研究布尔函数中相交族与并封闭族的可测试性。
• 确定这些性质是否能像单调性一样，拥有高效的非自适应测试算法。
• 为相交性与并封闭性测试建立紧致的查询复杂度界限。
• 探索远离这些族的函数的结构性质，特别是违反三元组与二元组的特征。

提出的方法

• 提出一种针对相交性的非自适应、单边测试器，通过采样接近中位数大小的集合并检查违反对来实现。
• 使用截断论证将问题简化为有界权重集合，利用测度集中性原理。
• 通过组合方法分析远离相交性的函数中违反对的数量，以获得正确性保证。
• 通过违反三元组的局部性分析来指导并封闭性结构引理的设计。
• 通过归约到通信复杂度与极值组合学来推导下界，特别是利用对径对与对称差大小。
• 结合概率分析与等周不等式及极值集合论工具，建立紧致的界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 非自适应测试相交布尔函数的查询复杂度是多少？
• RQ2 并封闭性能否像单调性一样，以 poly(n, 1/ε) 个查询完成测试？
• RQ3 远离相交性或并封闭性的函数具有哪些结构性特征？
• RQ4 违反三元组的局部性如何影响并封闭性测试的可测试性？
• RQ5 通过分析违反三元组的最小局部性，能否获得更紧致的下界？

主要发现

• 当 ε ≥ Ω(1/√n) 时，任何非自适应双侧 ε-测试器用于相交性，其查询次数至少为 2Ω(n1/4/√ε)。
• 当 ε ≥ 1/2Ω(n0.49) 时，任何非自适应双侧 ε-测试器用于并封闭性，其查询次数至少为 nΩ(log(1/ε))。
• 构造了一种单边、非自适应的相交性测试器，其查询次数为 O(n√n log(1/ε)/ε)，当 ε = Θ(1/√n) 时，与下界仅相差对数因子。
• 对于并封闭性，也获得了类似上界 poly(n√n log(1/ε), 1/ε)，几乎与下界匹配。
• 本文表明，相交性与并封闭性均不具有单调性测试的 poly(n, 1/ε) 查询复杂度。
• 论文推测，远离并封闭性的函数必须包含大量局部性较小的违反三元组，这或可导致更高效的测试器。