[论文解读] Testing Linear-Invariant Non-Linear Properties

Arnab Bhattacharyya, Victor Chen+2 more|ArXiv.org|Sep 14, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文引入了一类由线性变换下的禁止模式定义的布尔函数的线性不变非线性性质，证明当底层模式对应于图形拟阵时，此类性质是可测试的。主要贡献是将格林的三角形自由性测试推广到一个无限多个性质的族，利用1-复杂度线性系统与图形拟阵之间的联系，建立了具有单边错误的局部可测试性。

ABSTRACT

We consider the task of testing properties of Boolean functions that are invariant under linear transformations of the Boolean cube. Previous work in property testing, including the linearity test and the test for Reed-Muller codes, has mostly focused on such tasks for linear properties. The one exception is a test due to Green for "triangle freeness": a function $f:\cube^{n} o\cube$ satisfies this property if $f(x),f(y),f(x+y)$ do not all equal 1, for any pair $x,y\in\cube^{n}$. Here we extend this test to a more systematic study of testing for linear-invariant non-linear properties. We consider properties that are described by a single forbidden pattern (and its linear transformations), i.e., a property is given by $k$ points $v_{1},...,v_{k}\in\cube^{k}$ and $f:\cube^{n} o\cube$ satisfies the property that if for all linear maps $L:\cube^{k} o\cube^{n}$ it is the case that $f(L(v_{1})),...,f(L(v_{k}))$ do not all equal 1. We show that this property is testable if the underlying matroid specified by $v_{1},...,v_{k}$ is a graphic matroid. This extends Green's result to an infinite class of new properties. Our techniques extend those of Green and in particular we establish a link between the notion of "1-complexity linear systems" of Green and Tao, and graphic matroids, to derive the results.

研究动机与目标

• 研究布尔函数的线性不变非线性性质是否可以实现局部测试，扩展至先前研究的线性性质之外。
• 对通过线性变换下禁止模式定义的此类性质进行广泛表征。
• 建立禁止模式对应于图形拟阵的性质的可测试性，推广格林的三角形自由性结果。
• 探索此类性质在何种结构条件下可具有常数查询复杂度的单边错误测试器。
• 为理解线性不变性在实现局部可测试性中的作用，即使对于非线性性质，奠定更广泛的基础。

提出的方法

• 通过 {0,1}^k 中 k 个点的单一禁止模式及其在线性映射 L: {0,1}^k → {0,1}^n 下的像来定义性质，要求 f(L(v1)), ..., f(L(vk)) 不全等于 1。
• 利用禁止模式的拟阵结构对性质进行分类，重点关注拟阵为图形拟阵（即可表示为图的圈空间）的情况。
• 利用格林与陶的1-复杂度线性系统理论，分析禁止模式的结构及其线性不变量。
• 建立1-复杂度系统与图形拟阵之间的联系，以证明相应性质具有单边错误的可测试性。
• 利用极值图论结果（例如，完全图的图形拟阵之间不存在同态）证明与性质的距离的下界。
• 基于拟阵构造一个规范函数，以证明远离该性质的函数可用常数查询复杂度加以区分。

实验结果

研究问题

• RQ1 在禁止模式满足何种条件时，线性不变非线性性质可具有单边错误的可测试性？
• RQ2 格林的三角形自由性测试能否推广到一个无限多个非线性、线性不变性质的族？
• RQ3 禁止模式的拟阵结构在决定可测试性方面起什么作用？
• RQ4 在性质测试的背景下，1-复杂度线性系统与图形拟阵之间有何关联？
• RQ5 该框架能否扩展以处理任意禁止模式，而不仅限于单色模式？

主要发现

• 本文证明，任何由其底层拟阵为图形拟阵的禁止模式所定义的性质，均可具有单边错误和常数查询复杂度的可测试性。
• 可测试性质的类包括格林的三角形自由性作为特例，并将其推广至所有 k ≥ 3 的圈模式 C_k。
• 对于对应于 C_k 的图形拟阵 M，M-自由的性质是可测试的，且可通过极值图论论证下界化与该性质的距离。
• 本文表明，C_{k+2}-自由性严格强于 C_k-自由性，意味着此类性质存在严格的层次结构。
• 研究结果建立了1-复杂度系统与图形拟阵之间的联系，使得可通过结构组合学分析非线性、线性不变性质。
• 该框架为将可测试性结果扩展至任意禁止模式，以及扩展至任意有限范围和域上的性质，奠定了基础。