[论文解读] Testing perfection is hard

Noga Alon, Jacob Fox|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 23被引用 6

一句话总结

本文证明了测试完美图性质是困难的，即需要在 $\epsilon^{-1}$ 上具有超多项式查询复杂度，方法是证明测试完美性至少与测试无三角形性一样困难，而后者已知由于三角形去除引理中的次常数界而困难。相比之下，诱导 $P_3$-自由性被证明是易于测试的，从而完成了对小图的诱导 $H$-自由性易于测试性质分类的关键部分。

ABSTRACT

A graph property P is strongly testable if for every fixed ε>0 there is a one-sided ε-tester for P whose query complexity is bounded by a function of ε. In classifying the strongly testable graph properties, the first author and Shapira showed that any hereditary graph property (such as P the family of perfect graphs) is strongly testable. A property is easily testable if it is strongly testable with query complexity bounded by a polynomial function of ε^{-1}, and otherwise it is hard. One of our main results shows that testing perfectness is hard. The proof shows that testing perfectness is at least as hard as testing triangle-freeness, which is hard. On the other hand, we show that induced P_3-freeness is easily testable. This settles one of the two exceptional graphs, the other being C_4 (and its complement), left open in the characterization by the first author and Shapira of graphs H for which induced H-freeness is easily testable.

研究动机与目标

• 在图性质测试框架中，对哪些遗传图性质是易于测试与难以测试进行分类。
• 通过将其与已知的无三角形性测试困难性相关联，确定测试完美性是否困难。
• 解决诱导 $P_3$-自由性与 $C_4$-自由性在易于测试的诱导 $H$-自由性性质分类中的状态。
• 探索图性质测试器的查询复杂度层次结构，特别是对遗传性质而言。
• 探究是否存在所有易于测试的遗传图性质的完整刻画。

提出的方法

• 基于归约的证明：通过构造一类图，其中通过随机采样难以检测完美性，证明测试完美性至少与测试无三角形性一样困难。
• 使用三角形去除引理及其定量界，特别是 $\delta \leq \epsilon^{c \log \epsilon}$ 界，以建立查询复杂度下界。
• 从一个三部无三角形图 $T$ 构造一个有向图 $G$，使得若 $T$ 与无三角形性 $\epsilon$-远离，则 $G$ 也与偏序集 $\epsilon$-远离。
• 应用可扩展遗传性质的通用单边 $\epsilon$-测试器，该测试器采样 $d$ 个顶点，若诱导子图属于该性质则接受。
• 利用 Szemerédi 正则性引理和图去除引理分析远离满足 $H$-自由性的图的结构。
• 分析可比图及其与完美图的关系，通过归约到无三角形性证明测试可比图是困难的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在图性质测试模型中，测试完美图性质是否困难？
• RQ2 诱导 $P_3$-自由性是否易于测试，且是否完成了对小图的诱导 $H$-自由性易于测试性质的分类？
• RQ3 诱导 $C_4$-自由性是否易于测试，还是同样困难？
• RQ4 测试完美性的困难性是否可以归约为测试无三角形性的困难性？
• RQ5 是否存在所有易于测试的遗传图性质的完整刻画？

主要发现

• 测试完美图性质是困难的，因为其查询复杂度在 $\epsilon^{-1}$ 上为超多项式，这是通过从无三角形性归约而得出的。
• 无三角形性测试的困难性源于三角形去除引理中的 $\delta \leq \epsilon^{c \log \epsilon}$ 界，这表明测试完美性也同样困难。
• 诱导 $P_3$-自由性是易于测试的，因为使用 $d = O(\epsilon^{-1})$ 个查询的通用单边测试器足以区分 $\epsilon$-远离 $P_3$-自由图的图。
• 测试可比图是困难的，因为其可通过保持 $\epsilon$-远离性的构造归约为测试无三角形性。
• 测试偏序集至少与测试无三角形性一样困难，这是通过从三部图直接构造有向图来证明的。
• 本文仍留下诱导 $C_4$-自由性是否易于测试的问题，尽管它是小图诱导 $H$-自由性分类中唯一尚未解决的情形。