[论文解读] Testing spherical transitivity in iterated wreath products of cyclic groups

Benjamin Steinberg|ArXiv.org|Jul 22, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文提出了一种算法，用于测试无限迭代的循环群的半直积中有限状态自动机的球面对称传递性，利用有理生成函数和基于矩阵的状态转移分析。主要贡献是为这类群中的球面对称传递性和共轭关系提供了可判定的准则，利用了Sch"utzenberger的有理生成函数理论和自动机理论。

ABSTRACT

We give a partial solution a question of Grigorchuk, Nekrashevych, Sushchanskii and Šunik by giving an algorithm to test whether a finite state element of an infinite iterated (permutational) wreath product $\hat G = \mathbb Z/k\mathbb Z\wr \mathbb Z/k\mathbb Z\wr \mathbb Z/k\mathbb Z\wr >...$ of cyclic groups of order $n$ acts spherically transitively. We can also decide whether two finite state spherically transitive elements of $\hat G$ are conjugate. For general infinite iterated wreath products, an algorithm is presented to determine whether two finite state automorphisms have the same image in the abelianization.

研究动机与目标

• 解决Grigorchuk、Nekrashevych、Sushchanskii和Šuniḱ提出的问题，即关于无限迭代的循环群的半直积中的球面对称传递性。
• 开发一种算法，用于判断有限状态自动机是否在根植的正则k叉树上球面对称传递地作用。
• 决定群$̂{G}$中两个有限状态球面对称传递元素之间的共轭性。
• 确定两个有限状态自动机在$̂{G}$的阿贝尔化中的像是否相同。

提出的方法

• 将有限状态自动机表示为初始自动机，其具有有限的状态集和转移/输出函数。
• 使用关联矩阵编码状态转移，并计算自动机中的路径计数。
• 应用引理6，将元素在阿贝尔化中的像表示为生成函数：$ g[\widehat{G},\widehat{G}] = \sum_{j=0}^{\infty} (A^j v_A)_1 t^j $。
• 利用状态空间的有限性，通过矩阵幂的周期性将无限检查减少为有限计算。
• 在$\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$上使用线性代数，通过比较到某一界限的系数来测试阿贝尔化中像的相等性。
• 应用Sch"utzenberger的有理生成函数理论，证明任何有限状态自动机在阿贝尔化中的像是一个有理生成函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对无限迭代的循环群的半直积中的有限状态自动机，算法化地测试球面对称传递性？
• RQ2 群$\mathrm{Aut}(T_k)$中两个有限状态球面对称传递元素是否共轭，且能否算法化地判定？
• RQ3 给定两个有限状态自动机，能否判定它们在$\widehat{G}$的阿贝尔化中的像是否相同？
• RQ4 能否将任何有限状态自动机在$\widehat{G}$的阿贝尔化中的像表示为有理生成函数？

主要发现

• 有限状态自动机$f$的球面对称传递性是可判定的，且等价于检查$f[\widehat{G},\widehat{G}]$的每个系数是否属于$\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}^\times$。
• 由于状态空间有限，测试球面对称传递性的算法在有限时间内终止，其步骤数有界，上界为$k^n$，其中$n$是状态数。
• 通过在乘积自动机中比较路径计数的矩阵方法，可判定$\mathrm{Aut}(T_k)$中两个有限状态球面对称传递元素的共轭性。
• 通过比较其有理生成函数表示的系数到有限界限，可判定两个有限状态自动机在阿贝尔化中的像是否相等。
• 任何有限状态自动机在$\widehat{G}$的阿贝尔化中的像是一个有理生成函数，这是通过生成函数$(I - At)^{-1} v_A$的有理性证明的。
• 当$G^{ab}$为有限域时，相等性检查可优化为仅需$m+n$步，其中$m$和$n$分别为两个自动机的状态数。