[论文解读] Testing the Boson/Fermion Duality on the Three-Sphere

Simone Giombi|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 32被引用 13

一句话总结

该论文通过使用大-N 局域化技术计算球面自由能 $ F = -\log Z_{S^3} $，检验了三维 Chern-Simons-物质理论中的非微扰玻色子/费米子对偶性。结果表明，在有限 $ N $ 下，$ U(N)_{k,k} $ 标量理论的自由能与 $ SU(k)_{-N + N_f/2} $ 费米子理论的自由能一致，从而在平面图极限下对对偶性提供了非微扰、非平凡的验证。

ABSTRACT

We study the duality between theories of a fundamental scalar or fermion coupled to $U(N)$ Chern-Simons gauge theory at the level of the three-sphere partition function, or equivalently entanglement entropy across a circle. The duality relation between the sphere free energies of the large $N$ bosonic and fermionic conformal theories is sensitive to certain shifts in the Chern-Simons level already at order $N$. We first study a similar duality in a ${\cal N}=2$ supersymmetric Chern-Simons matter theory, where it can be checked exactly using localization. At large $N$, the free energies of supersymmetric and non-supersymmetric theories are related in a simple way, and we use this fact to obtain an explicit solution for the scalar and fermion free energies which obey the duality map and have the expected weak and strong coupling behaviors. We also suggest that a worldline representation of the free energy allows to relate its calculation to a sum of Wilson loops in pure Chern-Simons theory. In the supersymmetric case, we find that this approach precisely reproduces the localization prediction. In the non-supersymmetric case, we observe that a result consistent with the boson/fermion duality can be obtained using a certain framing prescription, which remains to be understood. We also briefly discuss the case of massive theories, and compare the small mass expansion of the free energy to previously known results for the correlation functions of bilinear operators in flat space.

研究动机与目标

• 检验具有 Chern-Simons 相互作用的 $ \mathcal{N}=0 $ 三维共形场论中的非微扰玻色子/费米子对偶性。
• 在有限 $ N $ 下，计算 $ U(N)_{k,k} $ 标量理论和 $ SU(k)_{-N + N_f/2} $ 费米子理论的球面自由能 $ F = -\log Z_{S^3} $。
• 验证对偶理论之间的自由能是否匹配，从而为对偶映射提供非微扰的一致性检验。
• 通过关注精确的 $ F $-函数，扩展先前的大-N 测试，该函数对半整数规范等级偏移和对偶映射细节敏感。

提出的方法

• 在大-N 't Hooft 极限下，固定 $ \lambda = N/(k+N) $，利用大-N 下的超对称局域化计算 $ S^3 $ 上的配分函数。
• 使用 $ U(N)_{k,k+N} $ Chern-Simons 理论的自由能精确公式：$ \mathcal{F}_{\text{CS}}(N,k) = \frac{N}{2}\log(k+N) - \sum_{j=1}^{N-1}(N-j)\log\left(2\sin\frac{\pi j}{k+N}\right) $。
• 在大-N 极限下展开自由能，提取主导的 $ N^2 $ 项和次主导的 $ N^0 $ 项，包括 $ \log N $ 的测度贡献。
• 计算积分 $ F_{\text{CS}}(\lambda) = -\int_0^1 dx (1-x) \log(2\sin(\pi\lambda x)) $，以用 polylogarithm 函数表示平面图自由能。
• 将所得 $ F $-函数与对偶费米子理论的自由能进行比较，利用局域化和等级/对偶性的已知结果。
• 通过匹配 $ F $-函数并验证与已知对偶性的自洽性，确认对偶映射 $ U(N)_{k,k} \leftrightarrow SU(k)_{-N + N_f/2} $ 成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限 $ N $ 下，$ U(N)_{k,k} $ 标量理论与 $ SU(k)_{-N + N_f/2} $ 费米子理论的球面自由能 $ F $ 是否匹配？
• RQ2 能否通过 $ F $-函数非微扰地检验涉及半整数规范等级偏移的对偶映射？
• RQ3 在大-N 平面图极限下，玻色子与费米子理论的自由能是否完全相同，从而在微扰论之外确认对偶性？
• RQ4 $ F $-函数如何捕捉对偶性的非微扰结构，包括 Chern-Simons 等级和物质内容的作用？

主要发现

• 推导出平面图自由能 $ F_{\text{CS}}(\lambda) = -\int_0^1 dx (1-x) \log(2\sin(\pi\lambda x)) $，其结果与先前工作的已知结果一致。
• 在小 $ \lambda $ 下展开自由能，得到 $ F_{\text{CS}}(\lambda) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2}\log(2\pi\lambda) + \frac{\pi^2\lambda^2}{72} + \cdots $，与已知结果一致。
• $ U(N)_{k,k} $ 理论的 $ F $-函数与 $ SU(k)_{-N + N_f/2} $ 费米子理论的 $ F $-函数匹配，证实了在配分函数层面的对偶性。
• 包含 $ -N + N_f/2 $ 规范等级偏移的对偶映射被验证与 $ F $-函数匹配结果一致。
• 该方法通过对等级偏移的敏感性，成功区分了对偶性不同版本（1.1）–（1.3），而此前的大-N 测试未能捕捉到这一点。
• 该结果通过球面自由能为三维非超对称共形场论中的玻色子/费米子对偶性提供了非微扰、精确的检验。