[论文解读] Testing the general relativistic ''no-hair'' theorems using the galactic center black hole SgrA*

Clifford M. Will|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2007

Adaptive optics and wavefront sensing被引用 5

一句话总结

本文提出通过观测绕银河系中心黑洞SgrA*运行的短周期、高偏心率恒星，检验广义相对论的'无毛'定理。利用高精度天体测量技术测量轨道平面倾角和交点的进动，该方法可确定黑洞的角动量与四极矩，若黑洞快速旋转，预测的进动速率可达每年10微角秒，从而直接检验$Q_2 = -J^2/M$关系。

ABSTRACT

If a class of stars orbits the central black hole in our galaxy in short period (~ 0.1 year), high eccentricity (~ 0.9) orbits, they will experience precessions of their orbital planes induced by both relativistic frame-dragging and the quadrupolar gravity of the hole, at levels that could be as large as 10 microarcseconds per year, if the black hole is rotating faster than 1/2 of its maximum rotation rate. Astrometric observations of the orbits of at least two such stars can in principle lead to a determination of the angular momentum vector J of the black hole and its quadrupole moment Q_2. This could lead to a test of the general relativistic no-hair theorems, which demand that Q_2 = - J^2/M. Future high-precision adaptive infrared optics instruments make make such a fundamental test of the black-hole paradigm possible.

研究动机与目标

• 研究未来对SgrA*附近恒星的高精度天体测量是否能够检验广义相对论的无毛定理。
• 确定由参考系拖拽和四极引力引起的轨道平面进动是否能被当前或近未来仪器测量。
• 评估是否能从多个恒星的天体测量观测中确定黑洞的角动量矢量$\mathbf{J}$与四极矩$Q_2$。
• 评估此类测量是否能够验证广义相对论预测$Q_2 = -J^2/M$。

提出的方法

• 在旋转黑洞（质量$M$，角动量$\mathbf{J}$，四极矩$Q_2$）的后牛顿极限下，建立测试粒子运动方程。
• 将轨道平面倾角$di/dt$与交点$ d\Omega/dt $的相对论进动率作为关键可观测量，以反推$\mathbf{J}$与$Q_2$。
• 应用天体测量与多普勒测量，确定轨道元素及其随时间的长期变化率。
• 对至少两颗恒星的天体测量数据进行多参数最小二乘拟合，同时约束$M$、$\mathbf{J}$与$Q_2$。
• 通过微扰修正考虑潮汐效应与外部质量分布的影响，假设其影响较小，除非存在大质量且靠近的物体。
• 利用协方差分析，估算在给定天体测量精度与观测计划下的真实测量精度，以评估无毛定理的检验能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 未来天体测量仪器能否测量由参考系拖拽和四极引力引起的轨道平面进动？
• RQ2 哪些轨道参数（周期、偏心率）可使进动率达到每年10微角秒？
• RQ3 能否从两颗恒星的天体测量数据中独立确定角动量矢量$\mathbf{J}$与四极矩$Q_2$？
• RQ4 潮汐力或外部质量分布在多大程度上会引入$Q_2$与$\mathbf{J}$测量的偏差？
• RQ5 在真实天体测量精度下，无毛定理$Q_2 = -J^2/M$的检验精度能达到多高？

主要发现

• 对于质量为$M$、角动量参数$\chi \approx 0.7$的快速旋转黑洞，周期约0.1年、偏心率0.9的恒星，其轨道平面倾角与交点的进动速率最高可达每年10微角秒。
• 轨道平面的进动主要对$\mathbf{J}$与$Q_2$敏感，使其成为检验无毛定理的关键可观测量。
• 通过测量两颗轨道非退化的恒星的$d\Omega/dt$与$di/dt$，可确定$\mathbf{J}$与$Q_2$的方向与大小。
• 该方法对潮汐效应具有鲁棒性，因为径向潮汐力不影响交点或倾角角度。
• 为使进动效应足够显著以在10微角秒/年的精度下被测量，黑洞的自旋参数需满足$\chi > 0.5$。
• 未来具备10微角秒天体测量能力的仪器（如GRAVITY）可能使该检验成为可能，为黑洞时空结构提供直接探测。