[论文解读] Tetris Hypergraphs and Combinations of Impartial Games

Endre Boros, Vladimir Gurvich+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2017

Artificial Intelligence in Games参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文通过超图引入了无偏游戏的 $χ$-组合，将 Sprague-Grundy 理论推广至标准和之外。定义了 $NIM_{\mathcal{H}}$ 为单堆 NIM 游戏的 $χ$-组合，并引入了 Tetris 超图——即 $NIM_{\mathcal{H}}$ 为 SG 递减的超图。主要贡献是对 Tetris 超图的刻画，以及证明即使在相交超图的情况下，计算此类游戏的 Sprague-Grundy 函数也是 NP-难的。

ABSTRACT

The Sprague-Grundy (SG) theory reduces the sum of impartial games to the classical game of $NIM$. We generalize the concept of sum and introduce $\cH$-combinations of impartial games for any hypergraph $\cH$. In particular, we introduce the game $NIM_\cH$ which is the $\cH$-combination of single pile $NIM$ games. An impartial game is called SG decreasing if its SG value is decreased by every move. Extending the SG theory, we reduce the $\cH$-combination of SG decreasing games to $NIM_\cH$. We call $\cH$ a Tetris hypergraph if $NIM_\cH$ is SG decreasing. We provide some necessary and some sufficient conditions for a hypergraph to be Tetris.

研究动机与目标

• 通过超图推广无偏游戏的经典和，实现超越标准析取和的新游戏组合。
• 将 $NIM_{\mathcal{H}}$ 定义为单堆 NIM 游戏的 $\mathcal{H}$-组合，并研究其 Sprague-Grundy 函数。
• 引入并刻画 Tetris 超图——即 $NIM_{\mathcal{H}}$ 为 SG 递减的超图，推广经典 NIM 的性质。
• 建立计算 $NIM_{\mathcal{H}}$ 的 Sprague-Grundy 函数的计算复杂度界限，证明即使在强结构约束下也是 NP-难的。

提出的方法

• 定义无偏游戏的 $\mathcal{H}$-组合，其中一步操作包括选择一个超边 $H \in \mathcal{H}$，并在所有索引为 $i \in H$ 的游戏中进行移动。
• 将 Tetris 函数 $\mathcal{T}_{\mathcal{H}}(x)$ 定义为 $NIM_{\mathcal{H}}$ 的 Sprague-Grundy 函数的推广，捕捉在最优策略下的游戏结果。
• 建立 $\mathcal{G}_{\mathcal{H}}(x) = \mathcal{T}_{\mathcal{H}}(x)$ 成立的条件，特别是当 $\mathcal{H}$ 为相交超图（所有超边两两相交）时。
• 证明对于相交超图以及维度至多为 3 的超图，计算 $\mathcal{T}_{\mathcal{H}}(x)$ 是 NP-难的，但对于维度 ≤ 2 的图（即超图维度 ≤ 2）是多项式时间可计算的。
• 通过从超图匹配数问题的约化来证明 NP-难性，构造 $\mathcal{H}^*$ 时将每个超边添加一个新顶点。
• 利用 SG 递减游戏的性质和对超边的结构约束，推导出超图为 Tetris 的充要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时 $\mathcal{H}$-组合的 SG 递减游戏等价于 $NIM_{\mathcal{H}}$？
• RQ2 何种超图 $\mathcal{H}$ 的条件可确保 $NIM_{\mathcal{H}}$ 为 SG 递减，即 $\mathcal{H}$ 为 Tetris 超图？
• RQ3 $NIM_{\mathcal{H}}$ 的 Sprague-Grundy 函数与 Tetris 函数 $\mathcal{T}_{\mathcal{H}}$ 有何关系？
• RQ4 $NIM_{\mathcal{H}}$ 游戏的 $\mathcal{G}_{\mathcal{H}}(x)$ 的计算复杂度如何？
• RQ5 对于有界维度的超图，Sprague-Grundy 函数是否可在多项式时间内计算？

主要发现

• 无偏游戏的 $\mathcal{H}$-组合推广了游戏的经典和与积，其中 $NIM_{\mathcal{H}}$ 是单堆 NIM 游戏的 $\mathcal{H}$-组合。
• 当且仅当 $NIM_{\mathcal{H}}$ 为 SG 递减时，超图 $\mathcal{H}$ 是 Tetris 超图，即每步移动都减少 Sprague-Grundy 值。
• 对于相交超图（所有超边两两相交），对所有位置 $x$ 都有 $\mathcal{G}_{\mathcal{H}}(x) = \mathcal{T}_{\mathcal{H}}(x)$，从而扩展了 Sprague-Grundy 理论。
• 即使超图维度被限制为 3，计算 $\mathcal{T}_{\mathcal{H}}(x)$ 也是 NP-难的。
• 对于维度至多为 2 的超图（即图），计算 $\mathcal{T}_{\mathcal{H}}(x)$ 是多项式时间可解的，因为其可归约为计算 $b$-匹配数。
• 由于在相交超图情况下有 $\mathcal{G}_{\mathcal{H}} = \mathcal{T}_{\mathcal{H}}$，因此 Sprague-Grundy 函数 $\mathcal{G}_{\mathcal{H}}(x)$ 的计算是 NP-难的。