[论文解读] Théorème d'Eilenberg-Zilber en homologie cyclique entière

Anne Bauval|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 7

一句话总结

本文通过使用摄动引理，显式构造了循环同调版本的Eilenberg-Zilber混洗映射与Alexander-Whitney映射——记为$\overline{sh}_{\infty}$与$\overline{AW}_{\infty}$——及其同伦逆映射与结合性/余代数同伦，并证明这些映射可连续延拓至赋范代数的整个循环同调复形，从而建立了关键的拟同构$\Omega_{\varepsilon}(A) \otimes \Omega_{\varepsilon}(B) \simeq \Omega_{\varepsilon}(A \otimes B)$，这对渐近循环同调理论至关重要。

ABSTRACT

For simplicial modules, Eilenberg-Zilber's classical theorem states the existence of a product $sh : M\otimes N o M imes N$ (the shuffle) and a coproduct $AW : M imes N o M\otimes N$ (the Alexander-Whitney map), which are quasi-inverse of eachother. A cyclic version of this theorem was established in 1987 by Hood and Jones: they proved that $sh$ and $AW$ admit "coextensions" $sh_\infty$ and $AW_\infty$, using an acyclic-model method. Besides, an explicit formula for $sh_\infty$ has been discovered by several authors. But the question remained open of such an explicit formula for $AW_\infty$, and for the homotopies by which $sh_\infty$ and $AW_\infty$ are mutual quasi-inverses and are quasi-(co)-associative. We present a complete answer to this problem and show that all these -- now explicit -- maps extend continuously to entire cyclic complexes (associated to normed algebras).

研究动机与目标

• 解决公开问题：显式构造循环同调版本的Alexander-Whitney映射$\overline{AW}_{\infty}$及其同伦逆映射。
• 提供使$\overline{sh}_{\infty}$与$\overline{AW}_{\infty}$成为拟逆映射及拟-(共)结合映射的显式同伦公式。
• 证明所有构造出的映射可连续延拓至赋范代数的整个循环同调复形，确保与整体循环同调函子相容。
• 为简化Puschnigg的渐近循环同调理论奠定基础，提供一个连续、显式的模型。

提出的方法

• 应用Brown的摄动引理于归一化的Eilenberg-Zilber映射，以在循环设定下显式构造共扩张$\overline{sh}_{\infty}$与$\overline{AW}_{\infty}$。
• 显式引入循环混洗$\overline{sh}'$与标准混洗$\overline{sh}$，统一恢复循环结构。
• 从摄动引理推导同伦数据，证明$\overline{sh}_{\infty}$与$\overline{AW}_{\infty}$为拟逆映射且拟-(共)结合。
• 通过控制$\Omega_{\varepsilon}(A \otimes B)$中一般元素上迭代$B$作用的算子范数，建立映射的连续性，结合组合与分析估计。
• 该方法确保所有映射在赋范代数$A$关联的整个循环同调复形$\Omega_{\varepsilon}(A)$上定义良好且连续，通过阶乘与指数因子控制增长。
• 将框架从归一化模推广至非归一化模，并将结果从代数推广至任意循环模。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否显式构造出循环同调版本的Alexander-Whitney映射$\overline{AW}_{\infty}$，类似于已知的$\overline{sh}_{\infty}$公式？
• RQ2 使$\overline{sh}_{\infty}$与$\overline{AW}_{\infty}$成为拟逆映射及拟-(共)结合映射的显式同伦是什么？
• RQ3 显式构造的映射$\overline{sh}_{\infty}$与$\overline{AW}_{\infty}$是否可连续延拓至赋范代数$A$的整个循环同调复形$\Omega_{\varepsilon}(A)$？
• RQ4 摄动引理能否用于推导整体循环同调中Eilenberg-Zilber定理的连续、显式模型？

主要发现

• 本文提供了$\overline{AW}_{\infty}$的显式公式，作为Alexander-Whitney映射的共扩张，填补了循环Eilenberg-Zilber定理中缺失的一环。
• 显式构造了$\overline{sh}_{\infty}$的同伦逆映射，并证明其满足所需的同伦关系。
• 证明映射$\overline{sh}_{\infty}$与$\overline{AW}_{\infty}$为拟-(共)结合，其显式同伦由摄动引理导出。
• 在$\Omega_r(A \otimes B)$上，$\sum_{k>0} (\varphi B)^k$的算子范数被控制在$C \cdot (4LMr)^n / \sqrt{n!}$以内，其中$C$依赖于$K, L, M$，且当$r \to 0$时该界趋于零，从而证明了连续性。
• 证明整个循环同调复形$\Omega_{\varepsilon}(A)$在映射下保持不变，且通过连续延拓建立了拟同构$\Omega_{\varepsilon}(A) \otimes \Omega_{\varepsilon}(B) \simeq \Omega_{\varepsilon}(A \otimes B)$。
• 该构造为整体循环同调中的Eilenberg-Zilber定理提供了连续、显式且拟同构的模型，使渐近循环同调理论的应用成为可能。