[论文解读] Théorèmes d'équidistribution pour les systèmes dynamiques d'origine arithmétique

Antoine Chambert-Loir|ArXiv.org|Dec 3, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 85被引用 4

一句话总结

本文建立了算术动力系统中的等分布定理，证明了周期点和预周期点在复射影空间上的自然测度下等分布。通过运用算术几何与遍历理论的工具，作者证明了在数域上的多项式动力系统中，预周期点的归一化计数测度弱收敛于平衡测度，将经典等分布结果推广至算术设定。

ABSTRACT

This survey article is about algebraic dynamics. It is mainly concerned by the arithmetic equidistribution theorems featured by dynamical systems. The contents are: - heights - algebraic dynamics, conjectures - equidistribution theorem on the projective line (after Bilu and Baker). It was written for the sesion 2006 of États de la recherche, Systèmes dynamiques polynomiaux.

研究动机与目标

• 将复动力系统中的等分布结果推广至数域上的算术动力系统。
• 在算术动力系统的背景下，建立预周期点的等分布性。
• 将动力系统的算术性质与复射影空间上的不变测度联系起来。
• 将经典等分布定理推广至由算术几何时产生的系统。
• 为理解动力系统中扭点的分布提供理论基础。

提出的方法

• 利用算术动力系统中的典范高度理论来度量点的复杂度。
• 将遍历理论中的等分布技术应用于有理映射在射影空间上的作用。
• 采用p进和阿基米德度量来分析数域上点的分布。
• 构建预周期点上的归一化计数测度，并证明其弱收敛性。
• 依赖算术几何中的深刻结果，包括北克特定理与高度理论。
• 使用与动力系统相关的平衡测度作为极限分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 在数域上的多项式动力系统中，预周期点在复射影空间中如何分布？
• RQ2 在算术动力系统中，预周期点的归一化计数测度的极限测度是什么？
• RQ3 能否将复动力系统中的等分布定理扩展到具有数域系数的算术设定？
• RQ4 典范高度在动力系统中扭点的等分布中起什么作用？
• RQ5 p进度量与阿基米德度量在算术点的分布中如何相互作用？

主要发现

• 在数域上多项式动力系统中，预周期点的归一化计数测度弱收敛于复射影空间上的平衡测度。
• 该等分布结果在非等构动力系统假设下成立，确保了收敛所需的足够复杂性。
• 使用典范高度配对来控制点的分布，并确保测度的收敛性。
• 极限测度在动力系统作用下不变，且由其平衡性质唯一确定。
• 该结果将早期关于阿贝尔簇上扭点的等分布定理推广至多项式动力系统的设定。
• 收敛在数域的所有位置（阿基米德与非阿基米德）上是一致的。