[论文解读] The 1-1 algorithm for Travelling Salesman Problem

Heping Jiang|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2021

Genome Rearrangement Algorithms参考文献 8被引用 13

一句话总结

本文提出1-1算法，一种针对对称非度量旅行商问题（TSP）的新型精确解法，通过利用哈密顿图的新性质，实现O(|E(G)|³)的时间复杂度。该方法系统地通过局部优化和边替换构建并优化巡回路线，确保获得最小权重的哈密顿环，且结果具有保证的正确性。

ABSTRACT

The Travelling Salesman Problem (TSP), finding a minimal weighted Hamilton cycle in a graph, is a typical problem in operation research and combinatorial optimization. In this paper, based on some novel properties on Hamilton graphs, we present a precise algorithm for finding a minimal weighted Hamilton cycle in a non-metric and symmetric graph with time complexity of extit{O}(|E(G)|^3) , where |E(G)| is the size of graph G.

研究动机与目标

• 设计一种针对对称非度量TSP的精确确定性算法，并证明其时间复杂度。
• 识别并利用哈密顿图的新结构特性，以指导高效巡回路线的构建。
• 实现O(|E(G)|³)的时间复杂度，优于暴力搜索或启发式方法在精确求解TSP时的性能。
• 提供一种精确的算法，确保在一般无向图中找到最小权重的哈密顿环。
• 为现有TSP求解器提供一种实用且理论严谨的替代方案，尤其适用于非度量实例。

提出的方法

• 该算法基于识别并应用哈密顿图特有的新型图论性质。
• 通过贪心或深度优先方法构建初始巡回路线，然后通过边替换迭代优化。
• 通过评估用非巡回边替换当前巡回边带来的权重变化，执行局部优化。
• 算法维护一个候选边集合，并应用1-1替换规则：移除一条边，添加一条边，同时保持巡回的有效性。
• 使用动态数据结构跟踪边的权重和替换的可行性，确保不会过早形成环。
• 该过程持续进行，直到无法再进行降低权重的边交换，从而保证得到局部最优的巡回。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种确定性精确算法，使对称TSP的时间复杂度在边数上为多项式时间？
• RQ2 哈密顿图的哪些新型图论性质可被利用以指导高效巡回路线的构建与优化？
• RQ3 是否可能在非度量图中实现O(|E(G)|³)的时间复杂度，以找到最小权重的哈密顿环？
• RQ4 如何形式化边替换规则，以在保持巡回有效性的同时最小化总权重？
• RQ5 在给定约束下，1-1替换策略是否能导致全局最优解？

主要发现

• 1-1算法可保证在任意对称非度量图中找到最小权重的哈密顿环。
• 该算法实现O(|E(G)|³)的时间复杂度，是边数的多项式时间。
• 该方法依赖于哈密顿图的新性质，以确保正确性与收敛性。
• 算法通过1-1替换规则系统地探索边替换，避免生成无效环。
• 未做任何启发式假设；解为精确解，并通过结构约束加以验证。
• 该方法适用于一般无向图，无需依赖度量或欧几里得性质。