[论文解读] The 2-braid group and Garside normal form

Lars Thorge Jensen|arXiv (Cornell University)|May 20, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 4

一句话总结

本论文通过2-辫群在Hecke代数的范畴化左细胞模上的作用，建立了正辫子的Garside标准型的范畴实现。通过分析Soergel双模的同伦范畴中的奇异上同调与锚点，作者证明了在有限型下2-辫群的忠实性，并给出了Paris定理的新证明，即在任意类型下，从正辫子幺半群到辫群的典范映射是单射的。

ABSTRACT

We investigate the relation between the Garside normal form for positive braids and the $2$-braid group defined by Rouquier. Inspired by work of Brav and Thomas we show that the Garside normal form is encoded in the action of the $2$-braid group on a certain categorified left cell module. This allows us to deduce the faithfulness of the $2$-braid group in finite type. We also give a new proof of Paris' theorem that the canonical map from the generalized braid monoid to its braid group is injective in arbitrary type.

研究动机与目标

• 在2-辫群框架内，理解正辫子的Garside标准型的范畴阴影。
• 在有限型Coxeter群中，建立2-辫群在范畴化左细胞模上的忠实性。
• 利用范畴方法，给出Paris定理的新证明：在任意类型下，从正辫子幺半群到辫群的典范映射是单射的。
• 证明2-辫群编码了比其去范畴化对应物更多的信息，如其在范畴化模上的忠实作用所显示的，该模范畴化了一个非忠实表示。

提出的方法

• 使用Soergel的Hom公式分析不可约Soergel双模之间的度数为1的态射，并在此设定下重新表达Kazhdan-Lusztig基底乘法。
• 通过Soergel双模的范畴，构造Hecke代数的范畴化左细胞模，模仿细胞模的构造方式。
• 在Soergel双模的同伦范畴上引入奇异过滤，以分析上同调结构并检测Garside因子。
• 将'锚点'定义为Rouquier复形的最高非零奇异上同调群中的双模，其编码了关于Garside分解的信息。
• 通过对Garside因子长度的归纳，从正辫子在范畴化模上的作用重构Garside标准型。
• 利用Rouquier复形的自等价结构和辫子关系，从模上的作用恢复辫子词。

实验结果

研究问题

• RQ1 正辫子的Garside标准型如何反映在2-辫群在范畴化左细胞模上的作用中？
• RQ2 是否可以在有限型Coxeter群中建立2-辫群在范畴化左细胞模上的作用的忠实性？
• RQ3 是否可以利用范畴方法证明从正辫子幺半群到辫群的典范映射是单射的？
• RQ4 范畴化的辫群作用是否包含严格多于其去范畴化版本的信息？

主要发现

• 正辫子的Garside标准型编码于其在范畴化左细胞模上的作用的最高非零奇异上同调群中。
• 正辫子中Garside因子的数量等于其Rouquier复形的最高非零奇异上同调群的度数。
• 在有限型中，2-辫群在范畴化左细胞模上的作用是忠实的，证实了Rouquier的猜想。
• 2-辫群在有限型中的忠实性源于能够从模上的作用重构Garside标准型。
• 给出了Paris定理的新证明：在任意类型下，从正辫子幺半群到辫群的典范映射是单射的。
• 范畴化左细胞模允许一个忠实的辫群作用，即使它范畴化了一个扭曲的约化Burau表示，而该表示在 $ n \geq 5 $ 时并非忠实的，这表明范畴化作用比去范畴化版本包含严格更多的信息。